1．(全國Ⅰ•理•7題)如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為( D )

A．　　 　　　B．　　 　　　C．　　 　　D．

2．(全國Ⅱ•理•7題)已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦等于( A )

A． 　　　 　B．　 　　 C．　　　 D．

3．(北京•理•3題)平面平面的一個(gè)充分條件是(　D　)

A．存在一條直線　　　　 　B．存在一條直線

C．存在兩條平行直線

D．存在兩條異面直線

4．(安徽•理•2題)設(shè)，，均為直線，其中，在平面內(nèi)，“”是且“”的(　)

A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件　 C．充分必要條件　 D．既不充分也不必要條件

5．(安徽•理•8題)半徑為1的球面上的四點(diǎn)是正四面體的頂點(diǎn)，則與兩點(diǎn)間的球面距離為( 　)

A．　 　 B．　 　 　C．　　　 D．

6．(福建•理•8題)已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(　 D )

A ．　　B．

C．　　　　　　　　　D．

7．(福建•理•10題)頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，AA₁＝，則A、C兩點(diǎn)間的球面距離為(　 B　 )

A ．　　　 B． 　　　C ．　　　D．

8．(湖北•理•4題)平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：

①⊥⊥；　　　　　　　　　　　 ②⊥⊥；

③與相交與相交或重合；　　 ④與平行與平行或重合；

其中不正確的命題個(gè)數(shù)是( D　 )

A.1　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　　 D.4

9．(湖南•理•8題)棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為(　 D　 )

A．　　　 　　 B．　　　　 　　　　　 C．　　 　　　　 D．

10．(江蘇•理•4題)已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：

①　　　 ②

③　　　　 ④

其中正確命題的序號是( C　 )

A．①③　　　 B．②④　　　 C．①④　　　 D．②③

11．(江西•理•7題)如圖，正方體AC₁的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H．則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是( D )

　 　A．點(diǎn)H是△A₁BD的垂心　 　B．AH垂直平面CB₁D₁

　 　C．AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C₁ 　D．直線AH和BB₁所成角為45°

12．(遼寧•理•7題)若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是(　　 )

A．若，則　　　 B．若，，則

C．若，，則　　　 D．若，，則

13．(陜西•理•6題)一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是( B )

　　A．　　　 B．　　　　 C． 　　　　D．　

14．(四川•理•4題)如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(　 D　 )

A．BD∥平面CB₁D₁ B．AC₁⊥BD

C．AC₁⊥平面CB₁D₁ D．異面直線AD與CB₁角為60°

15．(寧夏•理•8題) 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是(　B　)

A．　 　　B．　　　 C．　　 　　 D．

16．(四川•理•6題)設(shè)球O的半徑是1，A、B、C是球面上三點(diǎn)，已知A到B、C兩點(diǎn)的球面距離都是，且三面角B-OA-C的大小為，則從A點(diǎn)沿球面經(jīng)B、C兩點(diǎn)再回到A點(diǎn)的最短距離是( C　 )

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．

17．(天津•理•6題)設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是(　D　)

A．若與所成的角相等，則　　 B．若，，則

C．若，則　　 D．若，，則

18．(浙江•理•6題)若P是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則(　 B　 )

A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與都平行　　　 B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與都垂直

C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與都相交　　　 D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與都異面

19．(全國Ⅰ•理•16題)一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為　 　　。

20．(全國Ⅱ•理•15題)一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為　 　cm²。

21．(安徽•理•15題)在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是　　　　　　　　　 (寫出所有正確結(jié)論的編號)。

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體。

22．(江蘇•理•14題)正三棱錐高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn)到側(cè)面的距離是　　．

23．(遼寧•理•15題)若一個(gè)底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則此球的體積為　　　　 ．

24．(上海•理•10題)平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合。已知兩個(gè)相交平面與兩直線，又知在內(nèi)的射影為，在內(nèi)的射影為。試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件　 平行，相交　 。

25．(四川•理•14題)如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的角是　 　．

26．(天津•理•12題)一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為　　．

27．(浙江•理•16題)已知點(diǎn)O在二面角的棱上，點(diǎn)P在內(nèi)，且。若對于內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有，則二面角的大小是________。

27．(全國Ⅰ•理•19題)四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。

(Ⅰ)證明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大?。?/p>

解答：解法一：

(Ⅰ)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image132.gif">，所以，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依題設(shè)，

故，由，，，得

，．

的面積．

連結(jié)，得的面積

設(shè)到平面的距離為，由于，得

，

解得．

設(shè)與平面所成角為，則．

所以，直線與平面所成的我為．

解法二：

(Ⅰ)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image132.gif">，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，所以．

(Ⅱ)取中點(diǎn)，，

連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．

，，．

，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．

，．

，，

所以，直線與平面所成的角為．

28．(全國Ⅱ•理•19題)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；(Ⅱ)設(shè)SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大?。?/p>

解法一：

(1)作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．

連結(jié)，又，

故為平行四邊形．

，又平面平面．

所以平面．

(2)不妨設(shè)，則為等

腰直角三角形．

取中點(diǎn)，連結(jié)，則．

又平面，所以，而，

所以面．

取中點(diǎn)，連結(jié)，則．

連結(jié)，則．

故為二面角的平面角

．

所以二面角的大小為．

解法二：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則

，

．

取的中點(diǎn)，則．

平面平面，

所以平面．

(2)不妨設(shè)，則．

中點(diǎn)

又，，

所以向量和的夾角等于二面角的平面角．

　　　 ．

所以二面角的大小為．

29．(北京•理•16題)如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)的斜邊上．

(I)求證：平面平面；

(II)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大??；

(III)求與平面所成角的最大值．

解法一：

(I)由題意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

(II)作，垂足為，連結(jié)(如圖)，則，

是異面直線與所成的角．

在中，，，

．

又．

在中，．

異面直線與所成角的大小為．

(III)由(I)知，平面，

是與平面所成的角，且．

當(dāng)最小時(shí)，最大，

這時(shí)，，垂足為，，，

與平面所成角的最大值為．

解法二：

(I)同解法一．

(II)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，

，，

．

異面直線與所成角的大小為．

(III)同解法一

30．(安徽•理•17題)如圖，在六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2。

(Ⅰ)求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面；

(Ⅱ)求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

(Ⅲ)求二面角A－BB1－C的大小(用反三角函數(shù)值圾示)；

31．(福建•理•18題)如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：AB₁⊥面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大??；

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離；

分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．滿分12分．

解答：解法一：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點(diǎn)，

，

．

在正方形中，，

平面．

(Ⅱ)設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由(Ⅰ)得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

(Ⅲ)中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

由得，

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image341.gif">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個(gè)法向量．

由(Ⅰ)知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

(Ⅲ)由(Ⅱ)，為平面法向量，

　　　 ．

　　　 點(diǎn)到平面的距離．

32．(廣東•理•19題)如圖6所示，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點(diǎn)B是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。記BE＝x，V(x)表示四棱錐P－ACFE的體積。

(Ⅰ)求V(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？

(Ⅲ)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值；

33．(湖北•理•18題)如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ。

(Ⅰ)求證：平面VAB⊥平面VCD ；

(Ⅱ)當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍；

分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．

解答：解法1：(Ⅰ)，是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

(Ⅱ) 過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由(Ⅰ)知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

在中，；

設(shè)，在中，，．

，

，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法2：(Ⅰ)以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

(Ⅱ)設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法3：(Ⅰ)以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

(Ⅱ)設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)．

(Ⅰ)，

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，平面平面．

(Ⅱ)設(shè)直線與平面所成的角為，

設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，

則取，得．

可取，又，

于是，

，關(guān)于遞增．，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

34．(湖南•理•18題)如圖1，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，，并連結(jié)，使得平面平面，，且．連結(jié)，如圖2．　

(I)證明：平面平面；

(II)當(dāng)，，時(shí)，求直線和平面所成的角；

解：解法一：(I)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image471.gif">平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

(II)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

由(I)的結(jié)論可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image471.gif">平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image473.gif">，，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image497.gif">，所以四邊形是矩形．

由題設(shè)，，，則．所以，，

，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image483.gif">平面，，所以平面，從而．

故，．

又，由得．

故．

即直線與平面所成的角是．

解法二：(I)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image471.gif">平面，平面平面，，

平面，所以平面，從而．又，所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image482.gif">平面，所以平面平面．

(II)由(I)可知，平面．故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

由題設(shè)，，，則，

，，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，

，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

由得故可取．

過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image532.gif">，所以，于是點(diǎn)在軸上．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image472.gif">，所以，．

設(shè)()，由，解得，

所以．

設(shè)和平面所成的角是，則

．

故直線與平面所成的角是．

35．(江蘇•理•18題)如圖，已知是棱長為3的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且。

(I)求證：四點(diǎn)共面；(4分)

(II)若點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，垂足為，求證：面；

(Ⅲ)用表示截面和面所成銳二面角大小，求。

36．(江西•理•20題)右圖是一個(gè)直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3。

(I)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(II)求二面角B-AC-A₁的大?。?/p>

(Ⅲ)求此幾何體的體積；

解法一：

(1)證明：作交于，連．

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image055.gif">是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

(2)如圖，過作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image575.gif">面，所以，則平面．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image580.gif">，，．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image586.gif">，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

(3)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image586.gif">，所以

．

．

所求幾何體體積為

．

解法二：

(1)如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image055.gif">是的中點(diǎn)，所以，

．

易知，是平面的一個(gè)法向量．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image601.gif">，平面，所以平面．

(2)，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

則，得：

取，．

顯然，為平面的一個(gè)法向量．

則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

(3)同解法一．

37．(遼寧•理•18題)如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為。

(I)證明：；

(II)求的長，并求點(diǎn)到平面的距離。

38．(寧夏•理•19題)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值．

證明：

(Ⅰ)由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．

所以為直角三角形，．

又．

所以平面．

(Ⅱ)解法一：

取中點(diǎn)，連結(jié)，由(Ⅰ)知，得．

為二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，故．

所以二面角的余弦值為．

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．

的中點(diǎn)，．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值為．

39．(陜西•理•19題)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，，,BC=6。

(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求二面角的大小；

解法一：(Ⅰ)平面，平面．．

又，．

，，，即．

又．平面．

(Ⅱ)過作，垂足為，連接．

平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，

為二面角的平面角．

又，

，

，

又，，．

由得．

在中，，．

二面角的大小為．

解法二：(Ⅰ)如圖，建立坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，

，．，，

又，平面．

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為，

則，，

又，，

解得

平面的法向量取為，

，．

二面角的大小為．

40．(上海•理•19題)體積為1的直三棱柱中，，，求直線與平面所成角。

41．(四川•理•19題)如圖，四邊形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.

(Ⅰ)求證：平面⊥平面；

(Ⅱ)求二面角的大?。?/p>

(Ⅲ)求三棱錐的體積；

分析：本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。

解法一：

(Ⅰ)∵

∴，

又∵

∴

(Ⅱ)取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，為正方形

∴

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

由題意有，設(shè)，

則

由直線與直線所成的解為，得

，即，解得

∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，得

平面的法向量取為

設(shè)與所成的角為，則

顯然，二面角的平面角為銳角，

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)取平面的法向量取為，則點(diǎn)A到平面的距離

∵，∴

42．(天津•理•19題)如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)證明平面；

(Ⅲ)求二面角的大小；

分析：本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分12分．

解答：(Ⅰ)證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

(Ⅱ)證明：由，，可得．

是的中點(diǎn)，．

由(Ⅰ)知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內(nèi)的射影是，，．

又，綜上得平面．

(Ⅲ)解法一：過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則(Ⅱ)知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設(shè)，

可得．

在中，，，

則．在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．

過點(diǎn)作，垂足為，故平面．過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設(shè)，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

43．(浙江•理•19題)在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求CM與平面CDE所成的角；

分析：本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．

解答：

方法一：

(I)證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image865.gif">，是的中點(diǎn)，

所以．

又平面，

所以．

(II)解：過點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點(diǎn)，連結(jié)，．

是直線和平面所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image867.gif">平面，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image875.gif">平面，

所以，

則平面，因此．

設(shè)，，

在直角梯形中，

，是的中點(diǎn)，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．

(I)證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image901.gif">，，

所以，

故．

(II)解：設(shè)向量與平面垂直，則，，

即，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image911.gif">，，

所以，，

即，

，

直線與平面所成的角是與夾角的余角，

所以，

因此直線與平面所成的角是．