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19.(本小題滿分12分)如圖,直三棱柱A1B1C1-ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.
(1)求與平面A1C1CA所成角的大??;
(2)求二面角B-A1D-A的大??;
(3)在線段AC上是否存在一點F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,確定其位置并證明結論;若不存在,說明理由.
(3)令
參考答案
一、選擇題(1)A (2) C (3) B (4) B (5) C(6)C (7)D (8)C(9) D(10) C(11)D(12) D
二、填空題(13) (14) 15 (15) 48 (16)
三、解答題
17. 解:(1)
……4分
由
所以的單調遞增區(qū)間為 ………6分
(2)由=得:
∴………8分
∴
=…………12分
18. 解:1) 每位工人通過測試的概率為…………2分
每位工人不能通過測試的概率為.…………4分
3人中至少有一人不能通過測試的概率.…………6分
(2) 4位工人中恰有2人通過測試的概率為P=C(=…………12分 。
19. 解:(1)∵A1B1C1-ABC為直三棱柱 ∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA ………………2分
∴為與平面A1C1CA所成角
∴與平面A1C1CA所成角為……………4分
(2)分別延長AC,A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M,連結BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM為BM在平面A1C1CA的內射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB為二面角B-A1D-A的平面角……6分
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
,
即二面角B-A1D-A的大小為…………………8分
(3)在線段AC上存在一點F,使得EF⊥平面A1BD………10分
其位置為AC中點,證明如下:
∵A1B1C1-ABC為直三棱柱 , ∴B1C1//BC
∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA內的射影為C1F ,F(xiàn)為AC中點 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D ……11分
同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD …………12分
∵E為定點,平面A1BD為定平面 ,點F唯一
解法二:(1)同解法一……………………4分
(2)∵A1B1C1-ABC為直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分別為C1C、B1C1的中點, 建立如圖所示的坐標系得
C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A1(0,2,2)
D(0,0,1) E(1,0,2)………………6分
設平面A1BD的法向量為
……………8分
平面ACC1A1的法向量為=(1,0,0) …9分
即二面角B-A1D-A的大小為 ……………10分
(3)在線段AC上存在一點F,設F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,當且僅當//…………11分
… ……13分
∴存在唯一一點F(0,1,0)滿足條件. 即點F為AC中點……12分
20.解:(1)設,則,
∵點P分所成的比為 ∴
∴
∴
代入中,得為P點的軌跡方程.
當時,軌跡是圓。 ……6分
(2)由題設知直線l的方程為, 設
聯(lián)立方程組 ,消去得:.
∵ 方程組有兩解 ∴ 且 ∴或且 …………8分
又已知 ,M、A、B三點共線,由向量知識得或
,而
∴
又 ∵ ∴ 解得(舍去)或
∴ 曲線C的方程是. ……………12分
(21)解析:(1) ………2分
當x≥1時,是增函數(shù),其最小值為………6分
(2)
x |
|
|
|
a |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
有極大值
有極小值, ………8分
∵若方程f(x)=((a>0)至多有兩個解,∴f(a)≥0或f()≤0, ………10分
∴≥0或≤0 (舍) 解得0<a≤1. ………12分
(22) (1)解:由已知:對于,總有?、俪闪?/p>
∴ (n ≥ 2)② …………………2分
①--②得, ∴
∵均為正數(shù),∴ (n ≥ 2)
∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 ………3分, 又n=1時,,
解得=1 ∴.() ……4分
(2)b= n+4, 所以數(shù)列{b}的前項和……6分
∴對任意的,
.……8分
所以不等式,對任意皆成立.(注:這里的S都換為B)
(3)由(1)知
………12分
………14分