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20.(文)已知函數,若,且的圖象在點處
的切線方程為.
(Ⅰ)求實數的值; (Ⅱ)求函數的單調區(qū)間.
(理)已知函數在上是增函數.
(Ⅰ)求實數取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結論下,設,求函數的最小值.
參考答案
命題人:何俊輝 校對:李軍泉 編審:高三數學組
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求)
提示:
題號 |
1 |
2 |
3 |
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5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
A |
B |
A |
文B 理C |
A |
C |
C |
文C 理D |
文B 理C |
C |
D |
A |
二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
13. 14. 15. 16. (文) (理)
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(文)解:⑴易知cos2x≠0,得,因此f(x)的定義域為.
⑵由,
.∵時,取得最大值,則
∴,解得.因此所求實數的值為-4.
(理)解:(Ⅰ).
∴,∴函數的周期.由題意可知,即,解得,
即的取值范圍是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知的最大值為,∴.∵,∴.
而,∴,.由余弦定理知,
∴.又,取立解得或.∴.
(或用配方法∵,,∴,∴).
18.(文)解:⑴第一小組做了三次實驗,至少兩次實驗成功的概率是
.
⑵第二小組在第4次成功前,共進行了6次試驗,其中三次成功三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失
敗,其各種可能的情況種數為.因此所求的概率為.
(理)解:⑴(小張勝)(兩人均取紅球)(兩人均取黃球)+(兩人均取白球)
.
⑵設小張的得分為隨機變量,則,,.
,∴.
,∵,.∴時,有最大值,此時,
∴當時小張得分期望的最大值為,此時,.
19. 解:(Ⅰ)如圖,取中點,連結、.∵是的中點,
∴且.又∵, ,
∴且.∴四邊形是平行四邊形,故得.
又∵平面,平面,∴平面.
(Ⅱ)取中點,連結,,∵,∴.∵平面平面,
∴平面.∴是在平面內的射影,∴是與平面
所成的角.由已知,∴四邊形是直角梯形,.
設,則BD=,在中,易得,∴,
.又∵,∴是等腰直角三角形,.
∴.∴在中,.
(Ⅲ)在平面內過點作的垂線交于于點,連結,則是在平面
內的射影,故,∴是二面角的平面角,由,,
又,∴.在中,.
∴二面角的大小為.
解:(Ⅰ)同解.
(Ⅱ)設,同解中的(Ⅱ)可得.如圖,以點為原
點,所在直線為軸, 所在直線為軸,過點且垂直于
平面的直線與軸建立空間直角坐標系..
則,P,則.
平面的一個法向量為,∴.
可得與平面所成角的正弦值為,∴與平面所成角的正切值為.
(Ⅲ)易知,則.設平面的一個法向量,
則.令,可得.
∴,故二面角的大小為.
20.(文) 解:(Ⅰ)∵, ∴ ①∴,又的圖象在點
處的切線方程為,即, ②
?、邸 ?聯(lián)立方程①②③,解得.
(Ⅱ).
令,得.
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遞增 |
極大 |
遞減 |
極小 |
遞增 |
故的單調增區(qū)間為,,單調減區(qū)間為.
(理)解:(Ⅰ).∵在上是增函數,∴在上恒成立,
即恒成立,∵(當且僅當時,等號成立),∴,故.
(Ⅱ)設,則.∵,∴.當時,
,∴的最小值為.當時,.
∴的最小值為.∴當時,的最小值為.
當時,的最小值為.
21.解:(Ⅰ)設直線與橢圓交于,,右頂點.
將代入中,整理得.
于是. ∵為中點,
∴,故.
(Ⅱ)依題意:,則.又,
∴,整理得,.
由⑴⑵代入得,, ∴.
∵,∴,故a=,故所求橢圓方程為.
22.解:⑴過:上一點作斜率為的直線交于另一點,
則,于是有:.
⑵記,則,
∵,,∴數列{}是等比數列.
⑶由⑵可知:,,.
當為偶數時有:,
①在為偶數時有,.
②在為奇數時,前項為偶數項,
.綜合①②可知原不等式得證.