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6.()已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N*且a1、a2、a3、……、an構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},滿足f(1)=n2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并求;
(2)證明0<f()<1.
參 考 答 案
●難點(diǎn)磁場(chǎng)
1.解析:9個(gè)燈中關(guān)閉3個(gè)等價(jià)于在6個(gè)開啟的路燈中,選3個(gè)間隔(不包括兩端外邊的裝置)插入關(guān)閉的過(guò)程故有C=10種
答案:10
2.(1)證明:∵a.b==0,∴a⊥b
(2)解:∵x⊥y,∴x.y=0
即[a+(t2–3)b].(–ka+tb)=0,整理后得
–ka2+[t–k(t2–3)]a.b+t(t2–3).b2=0
∵a.b=0,a2=4,b2=1
∴上式化為–4k+t(t2–3)=0,∴k=t(t2–3).
(3)解:討論方程t(t2–3)–k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=t(t2–3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).
令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí),f′(t),f(t)的變化情況如下表:
t |
(–∞,–1) |
–1 |
(–1,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(t) |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
f(t) |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
當(dāng)t=–1時(shí),f(t)有極大值,f(t)極大值=;
當(dāng)t=1時(shí),f(t)有極小值,f(t)極小值=–.
而f(t)=(t2–3)t=0時(shí),得t=–,0,.
所以f(t)的圖象大致如右:
于是當(dāng)k>或k<–時(shí),直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個(gè)交點(diǎn),則方程有一解;
當(dāng)k=或k=–時(shí),直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),則方程有兩解;當(dāng)k=0,直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn),但k、t不同時(shí)為零,故此時(shí)也有兩解;當(dāng)–<k<0或0<k<時(shí),直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn),則方程有三個(gè)解
●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:分析直線l2的變化特征,化數(shù)為形,已知兩直線不重合,因此問(wèn)題應(yīng)該有兩個(gè)范圍即得解
答案:C
2.解析:化和的比為項(xiàng)的比∵.
∴,取極限易得
答案:A
二、3.解析:轉(zhuǎn)化為先求對(duì)立事件的概率即四人生日各不相同的概率
答案:
4.解析:轉(zhuǎn)化為f′(x)=3x2–3b在(0,1)內(nèi)與x軸有兩交點(diǎn)只須f′(0)<0且f′(1)>0.
答案:0<b<1
三、5.解:(1)原不等式等價(jià)于
即 ∴x≥
∴原不等式的解集為{x|x≥}.
(2)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤g(x)恒成立.∴x∈[0,1]時(shí)恒成立.即恒成立
即x∈[0,1]時(shí),t≥–2x+恒成立,于是轉(zhuǎn)化為求–2x+,x∈[0,1]的最大值問(wèn)題
令μ=,則x=μ2–1,則μ∈[1,].
∴2x+=–2(μ–)2+.
當(dāng)μ=1即x=0時(shí),–2x+有最大值1
∴t的取值范圍是t≥1.
6.(1)解:{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1滿足an=2n–1.故{an}通項(xiàng)公式為an=2n–1(n∈N*)
∴
(2)證明:∵f()=1.+3.+…+(2n–1) ①
∴f()=1.+3.+…+(2n–3)+(2n–1) ②
①–②得:f()=1.+2.+2.+…+2.–(2n–1).
∴f()=++++…+–(2n–1)=1–.
∵ (n∈N*)
∴0<<1,∴0<1–<1,即0<f()<1
7.解:(1)設(shè)AB∶y=k(x–1)+2代入x2–=1.
整理得(2–k2)x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2=0 ①
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),x1,x2為方程①的兩根
所以2–k2≠0且x1+x2=.又N為AB中點(diǎn),
有(x1+x2)=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k=1.故AB∶y=x+1.
(2)解出A(–1,0)、B(3,4)得CD的方程為y=3–x.與雙曲線方程聯(lián)立.消y有x2+6x–11=0 ②
記C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中點(diǎn)M(x0,y0)由韋達(dá)定理可得x0=–3,y0=6.
∵|CD|=
∴|MC|=|MD|=|CD|=2.
又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓.
8.提示:f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易確定f(–1)=2是極大值,f(1)=–2是極小值.當(dāng)–2<a<2時(shí)有三個(gè)相異交點(diǎn).
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