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考點一:等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)
例題1. (山東省濱州市2007年高三第三次復習質(zhì)量檢測)已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項,且
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列
解析:(I)依題意
(II)
點評:本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和,本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。
例題2. (2007年湖南省長郡中學第二次月考)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,若是首項為1,各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)試比較的大小,并證明你的結(jié)論.
解析:(Ⅰ)∵是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列.
∴. 當n=1時,a1=1, 當
∴。
(Ⅱ)當n=1時,
∴
∴當
∵
①當q=1時,
②當
③當
綜上可知: 當n=1時,
當
若
若
點評:本題考查了等比數(shù)列的基本知識,還要注意分類討論。
考點二:求數(shù)列的通項與求和
例題3. (2007年5月湖北省十一校).已知數(shù)列中各項為:
|
|
(1)證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.
(2)求這個數(shù)列前n項之和Sn .
解析:先要通過觀察,找出所給的一列數(shù)的特征,求出數(shù)列的通項,進一步再求和。
答案:(1)
|
= A (A+1) , 得證
(2)
點評:本題難點在于求出數(shù)列的通項,再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數(shù)的積,解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。
例題4. (云南省2007年第一次高中畢業(yè)生復習統(tǒng)一檢測) 已知是數(shù)列{}的前n項和,并且=1,對任意正整數(shù)n,;設(shè)).
(I)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;
(II)設(shè)的前n項和,求.
解析:(I)
兩式相減:
是以2為公比的等比數(shù)列,
(II)
而
點評:本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項,第二問求和用到裂項的辦法求和。
考點三:數(shù)列與不等式的聯(lián)系
例題5.(2007年5月莆田四中)已知為銳角,且,
函數(shù),數(shù)列{an}的首項.
⑴ 求函數(shù)的表達式;
⑵ 求證:;
⑶ 求證:
解析:本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系,第(2)問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì),第(3)問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式,這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。
答案:解:⑴ 又∵為銳角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴
∵, , 又∵
∴ ∴
∴
點評:把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想,本題中的第(3)問不等式所給的式子更具有一般性。
例題6.(東城區(qū)2007年檢測)已知數(shù)列滿足且
(Ⅰ)求的表達式;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)若,試比較的大小,并說明理由.
解析:(I)
當時上式也成立,
(Ⅱ)
①
②
①-②,得
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得又
當
當
當
綜上所述,當
點評:比較大小的常見的辦法是做差,但關(guān)鍵在于和零比較,要注意在不同的條件下有不同的結(jié)果,也就是要根據(jù)分類討論。
例題7.(2007年5月2007浙江省五校) 已知函數(shù),數(shù)列滿足,
; 數(shù)列滿足, .求證:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)若則當n≥2時,.
解析:第(1)問是和自然數(shù)有關(guān)的命題,可考慮用數(shù)學歸納法證明;第(2)問可利用函數(shù)的單調(diào)性;第(3)問進行放縮。
答案:解: (Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明,.
(1)當n=1時,由已知得結(jié)論成立;
(2)假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,
因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.
又由, 得,從而.
綜上可知
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).
又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.
因為,所以,即>0,從而
(Ⅲ) 因為 ,所以, ,
所以 ----① ,
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因為, n≥2,
所以 <<=----② .
由①② 兩式可知: .
點評:本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題,屬于難題,復習時應引起注意。
考點四:數(shù)列與函數(shù)、向量、概率等的聯(lián)系
例題8.(四川省南充高級中學2008屆十月份月考)無窮數(shù)列的前n項和,并且≠.
(1)求p的值;
(2)求的通項公式;
(3)作函數(shù),如果,證明:.
解析:(1)∵ ∴ ,且p=1,或.
若是,且p=1,則由.
∴ ,矛盾.故不可能是:,且p=1.由,得.
又,∴ .
(2)∵ ,, ∴ .
.
當k≥2時,.
∴ n≥3時有.
∴ 對一切有:.
(3)∵ , ∴ . .
故. ∴ .
又.
∴ .
故 .
點評:本題是函數(shù)、不等式的綜合題,是高考的難點熱點。
例題9.(重慶市渝西中學2008屆高中三年級第一次模擬考試)已知定義域為R的二次函數(shù)的最小值為0且有,直線被的圖象截得的弦長為,數(shù)列滿足,
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)求證;
(3)設(shè),求數(shù)列的最值及相應的。
解析:第(2)問實際上是求數(shù)列的通項;第(2)問利用二次函數(shù)中求最值的方式來解決。
答案:解:(1)設(shè),則兩圖象交點為
∵ ∴
(2) ∵
∴
∵ ∴,故 ∴,
數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列
∴,
(3)
令,
則 ∵
∴的值分別為
經(jīng)比較距最近
當時,有最小值是,當時,有最小值是。
點評:本題二次函數(shù)、不等式知識的交匯題,要解決好這類題是要有一定的數(shù)學素養(yǎng)的。
例題10.(云南省2007年第一次高中畢業(yè)生復習統(tǒng)一檢測)某人拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面、反面的概率均為,使得
(I)求S4=2的概率;
(II)若前兩次均出現(xiàn)正面,求的概率.
解析:解:(I)若S4=2,則需4次中有3次正面1次反面,設(shè)概率為P1,則
所以,S4=2的概率為.
(II)且前兩次出現(xiàn)正面,則后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面,設(shè)其概率為P2,則
∴若前兩次均出現(xiàn)正面,則的概率為.
點評:本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn),題型新穎而別開生面,要解決好此題要需要冷靜,問題本身并不難。
創(chuàng)新試題答案
1.解:(1)
(2)的對稱軸垂直于軸,且頂點為.設(shè)的方程為:
把代入上式,得,的方程為:。
,
=
2.解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0 ∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一個首項為1公比為的等比數(shù)列;
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn-1
可見{bn}是一個首項為1,公差為的等差數(shù)列 于是bn=1+(n-1)=;
(3)由bn=,可知{b2n-1}和{b2n}是首項分別為1和,公差均為的等差數(shù)列,
于是b2n=,
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=- (b2+b4+…+b2n)=-.n(+)=- (2n2+3n)
四、復習建議
1.“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要,但用“基本量法”并樹立“目標意識”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地運用條件,又要時刻注意題的目標,往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果
2.歸納--猜想--證明體現(xiàn)由具體到抽象,由特殊到一般,由有限到無限的辯證思想.學習這部分知識,對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,計算能力,熟悉歸納、演繹的論證方法,提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力,都有重大意義.
3.解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法,一般遞推法,數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題.
4.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式,然后再利用數(shù)列知識和方法求解.