參考答案

一、填空題：(70分)

1.　　 2. 　　　　3.4　　　 4.4　　　 5.　　　 6.　　 7.-1　　 8.　9.　　　　 10.10　　　　 11.25　　　　 12.2550　　　　　 13.　　　　　 14.

二、解答題

15.(I)在△ABC中有B+C=π－A，由條件可得：

4[1－cos(B+C)] －4cos²A+2=7

又∵cos(B+C)= －cosA

∴4cos²A－4cosA+1=0　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

解得　　　　

解： (II)由　

16. (Ⅰ)∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC₁

∵ABCD是正方形　　 ∴BD⊥AC　　 又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁,

且AC∩CC₁=C,　　 ∴BD⊥平面ACC₁A₁.

　(Ⅱ) 設BD與AC相交于O,連接C₁O.　 ∵CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,

　 ∴BD⊥C₁O,　 ∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，

∴∠C₁OC=60^o.　 連接A1B.　　 ∵A₁C₁//AC,　　　 ∴∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角.

設BC=a,則∴異面直線BC₁與AC所成角的大小為

19. 解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

將①式兩邊平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂　　 ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x．

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

y＝x₁(x－x₁)+y₁，y＝x₂(x－x₂)+y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出兩條切線的交點M的坐標為(，)＝(，－1)．　　 ……4分

所以.＝(，－2).(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以.為定值，其值為0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝+．

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以

|AB|＝|AF|+|BF|＝y₁+y₂+2＝λ++2＝(+)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(+)³，

由+≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．

20. (Ⅰ)由ni=1=S_n²，　　　 (1)　　　　　　　　 由n+1i=1=S_n+1²，　　　　　　 (2)

(2)－(1)，得=(S_n+1+S_n)(S_n+1－S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1．

∵ a_n+1 >0，∴a_n+1²－=2S_n．　　　　　　　　　　　

由a_n+1²－=2S_n，及a_n²－a_n =2S_n－1 (n≥2)，

　　　　　　 兩式相減，得(a_n+1+ a_n)( a_n+1－a_n)= a_n+1+ a_n．

∵a_n+1+ a_n >0，∴a_n+1－a_n =1(n≥2)　　　　　　　　

當n=1,2時，易得a₁=1，a₂=2，∴a_n+1 － a_n =1(n≥1)．

∴{ a_n}成等差數(shù)列，首項a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

(Ⅱ)由，得。所以，

當時，；

當時，

，

即

(Ⅲ)nk=1=nk=1＜1+nk=2　

＜1+nk=2=

=1+ nk=2 (－)　　　　　　　

=1+1+－－＜2+＜3.