廣東省惠州市2008屆高三第二次調(diào)研考試

數(shù)學試題（文科）  2007.11

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

一．選擇題：本大題共l0小題，在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．每小題5分，滿分50分．

1.命題“”的否命題是(      )．

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A.            B.

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C.            D.  

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2.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文對應密文，例如，明文對應密文．當接受方收到密文時，則解密得到的明文為（      ）．

    A． 4，6，1，7    B． 7，6，1，4   C． 6，4，1，7   D． 1，6，4，7

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3.已知向量，，若，則實數(shù)的值等于（     ）．

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A.         B.         C.           D.

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4.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（    ）．

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A．        B．        C．        D．

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5.在一次射擊訓練中，一小組的成績?nèi)缦卤恚?/p>

環(huán)數(shù)

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人數(shù)

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已知該小組的平均成績?yōu)?sub>環(huán)，那么成績?yōu)?sub>環(huán)的人數(shù)是（    ）．

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．     ．    ．     ．

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6. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（    ）．

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．      ．        ．     ．

 

 

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7. 下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖有且僅有兩個視圖相同的是（ 　 ）．

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A．①②         B．①③      C．①④      D．②④

 

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8.如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的（   ）．

Ａ．2450    Ｂ.2500     Ｃ．2550     Ｄ．2652

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9.將函數(shù)的圖象先向左平移，然后將所得圖象上

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所有的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍（縱坐標不變），則所得到的圖象

對應的函數(shù)解析式為（    ）．

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A．    B．     C．          D．

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10.已知全集R，集合,若a>b>0，

則有(    )．

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A.       B.      C.    D.

 

 

 

 

 

 

 

第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）

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二．填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．

11．化簡：           ．

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12. 已知是定義在R上的函數(shù)，且對任意，都有：，又則          ．

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13.若實數(shù)滿足條件，則目標函數(shù)的最大值為_____ ．

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14. (坐標系與參數(shù)方程選做題)極坐標系中，圓上的動點到直線的距離的最大值是                ．

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15. (幾何證明選講選做題)如右圖所示，是圓的直徑，

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，，，則          ．

 

 

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三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

16.（本小題12分） 在△ABC中，是角所對的邊，且滿足．

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(Ⅰ)求角的大��；

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(Ⅱ)設，求的最小值.

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17．(本小題14分)已知：正方體，，E為棱的中點．

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(Ⅰ) 求證：；

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(Ⅱ) 求證：平面；

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（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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18．（本小題12分）有朋自遠方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是．

(Ⅰ)求他乘火車或飛機來的概率；

(Ⅱ)求他不乘輪船來的概率；

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（Ⅲ)如果他來的概率為，請問他有可能是乘何種交通工具來的？

 

 

 

 

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19.（本小題14分）設函數(shù)的圖象關于原點對稱，的圖象在點處的切線的斜率為，且當時有極值．

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(Ⅰ)求的值； 

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(Ⅱ)求的所有極值．

 

 

 

 

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20. (本小題14分)已知圓：和圓，直線與圓相切于點；圓的圓心在射線上，圓過原點，且被直線截得的弦長為．

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(Ⅰ)求直線的方程；

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(Ⅱ)求圓的方程．

 

 

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21．（本小題14分）已知數(shù)列是等差數(shù)列， ；數(shù)列的前n項和是，且．

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(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式； 

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(Ⅱ) 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

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(Ⅲ) 記，求的前n項和．

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題號

答案

1.解析：命題“”的否命題是：“”，故選C．

2.解析：由已知，得：，故選．

3.解析：若，則，解得．故選．

4.解析：由題意得，又．

故選．

5.解析：設成績?yōu)?sub>環(huán)的人數(shù)是，由平均數(shù)的概念，得：．

故選．

6.解析：是偶函數(shù)；是指數(shù)函數(shù)；是對數(shù)函數(shù)．故選．

7.解析：①的三視圖均為正方形；②的三視圖中正視圖．側(cè)視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為圓；④的三視圖中正視圖．側(cè)視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為正方形．故選．

8.解析：程序的運行結(jié)果是，選．

9.解析：的圖象先向左平移，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍．答案：．

10.解析：特殊值法：令，有．故選．

 

題號

11

12

13

14

15

答案

11.解析：．

12.解析：令，則，令，則，

同理得即當時，的值以為周期，

所以．

13.解析：由圖象知：當函數(shù)的圖象過點時，

取得最大值為2．

14. (坐標系與參數(shù)方程選做題)解析：將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程，圓上的動點到直線的距離的最大值就是圓心到直線的距離再加上半徑．故填．

15. (幾何證明選講選做題)解析：連結(jié)，

則在和中：，

且，所以，

故．

三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

16.析：主要考察三角形中的邊角關系、向量的坐標運算、二次函數(shù)的最值．

解：(Ⅰ)∵，∴，     ………………3分

又∵，∴．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）　　 ……………………………………………6分

，  ………………………8分

∵，∴．　　 ……………10分

∴當時，取得最小值為．   …………12分

 

17．析：主要考察立體幾何中的位置關系、體積．

解：(Ⅰ)證明：連結(jié)，則//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………4分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………5分

（Ⅱ）證明：作的中點F，連結(jié)．

∵是的中點，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴ ． ………7分

∵是的中點，∴，

又，∴．

∴四邊形是平行四邊形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………9分

又平面，∴面．  ………………10分

（3）．　……………………………11分

．  ……………………………14分

 

18．析：主要考察事件的運算、古典概型．

解：設“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機來”分別為事件，則，，，，且事件之間是互斥的．

(Ⅰ)他乘火車或飛機來的概率為………4分

(Ⅱ)他乘輪船來的概率是，

所以他不乘輪船來的概率為． ………………8分　

（Ⅲ)由于，

所以他可能是乘飛機來也可能是乘火車或汽車來的． …………………12分　

19.析：主要考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導數(shù)的應用．

解：(Ⅰ)由函數(shù)的圖象關于原點對稱，得，………………1分

∴，∴．　…………2分

∴，∴．　……………………………4分

∴，即．　　……………………6分

∴． ……………………………………………………7分

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴．

由 ，∴．　　　…………………9分

0

+

0

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

∴．　 ………………………14分

 

20．析：主要考察直線．圓的方程，直線與圓的位置關系．

解：(Ⅰ)（法一）∵點在圓上，    …………………………2分

∴直線的方程為，即．   ……………………………5分

（法二）當直線垂直軸時，不符合題意．     ……………………………2分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即．

則圓心到直線的距離，即：，解得，……4分

∴直線的方程為．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）設圓：，∵圓過原點，∴．

∴圓的方程為．…………………………7分

∵圓被直線截得的弦長為，∴圓心到直線：的距離：

．   …………………………………………9分

整理得：，解得或． ……………………………10分

∵，∴．   …………………………………………………………13分

∴圓：．  ……………………………………14分

 

21．析：主要考察等差、等比數(shù)列的定義、式，求數(shù)列的和的方法．

解：(Ⅰ)設的公差為，則：，，

∵，，∴，∴．　………………………2分

∴．  …………………………………………4分

（Ⅱ）當時，，由，得．     …………………5分

當時，，，

∴，即．　 …………………………7分

  ∴．　　　……………………………………………………………8分

∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．　…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：． 　 ……………………………10分

∴．　…………………………………11分

∴．

∴．

∴

．    ………………………………………13分

∴．　　…………………………………………………14分


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