2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學（理科）試題

考生注意：

1.答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、準考證號填寫清楚.

2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.

題號

一

二

三

總分

16

17

18

19

20

21

得分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、填空題 （本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分。

1．已知，若為純虛數(shù)，則的值為。    

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2．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是。          

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3．已知函數(shù)，。

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4．球面上有A、B、C三點，AB＝AC＝2，，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為。

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5．已知數(shù)列滿足：，且對任意的正整數(shù)，都有，若數(shù)列的前項和為，則。

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6．若，且，則_________。

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7．已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則。

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8．已知對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足，若方程有且僅有2009個實數(shù)解，則這2009個實數(shù)解之和為              。

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9．袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個數(shù)為。

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10．中，分別是角的對邊，已知，，現(xiàn)有以下判斷:

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① 不可能等于15；② 若,則；③若,則有兩解。請將所有正確的判斷序號填在橫線上____________。

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11．如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點，E是邊AC上任一點，連結DE，F(xiàn)是線段DE上一點，連結BF，設，，，且，則△BDF的面積S的最大值是               。

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得 4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分。

12．設已知全集，集合，則等于                                                          （   ）

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（A）       （B）     （C）          （D）

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13．設                        （  ）

（A）0         （B）1            （C）2             （D）3

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14．已知點是直線上一動點，PA、PB是圓的兩條切線，A、B

是切點，若四邊形PACB（C為圓心）面積的最小值為2，則k的值為  （  ）

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（A）3               （B）                  （C）                     （D）2

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15．已知不等式對于,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是（    ）

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（A）          （B）             （C）                （D）

 

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三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

16.（本題滿分11分）如圖，、是單位圓上的點，是單位圓與軸正半軸的交點，點的坐標為，三角形為等邊三角形。求及的值。

 

 

 

 

 

 

 

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17. （本題滿分12分） 本題共有3個小題，每小題滿分4分。

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如圖，四面體中，、分別是、的中點，。

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（Ⅰ）求證：平面；

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（Ⅱ）求異面直線與所成角的大�。�

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（Ⅲ）求點到平面的距離。

 

 

 

 

 

 

 

 

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18. （本題滿分12分） 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。

某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

項目

類別

年固定成本

（單位：萬美元）

每件產(chǎn)品成本

（單位：萬美元）

每件產(chǎn)品銷售價

（單位：萬美元）

每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)（單位：件）

A產(chǎn)品

20

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10

200

B產(chǎn)品

40

8

18

120

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其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關，為常數(shù)，且。另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交 萬美元的特別關稅。

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（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤，與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關系并指明其定義域；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

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已知函數(shù)，

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（1）判斷的奇偶性，并說明理由；

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（2）當時，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。

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在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為,也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且。

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（Ⅰ）求點的的坐標及橢圓的方程；

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（Ⅱ）已知直線，且與橢圓交于兩點，提出一個與面積相關的問題，并作出正確解答。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

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已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當時，，

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（1）當時，填寫下列列表格：

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2

3

35

100

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（2）當時，求數(shù)列的前100項的和；

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（3）令，求證：當時，。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研

  數(shù)學試卷（理科）

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一、填空題：

1．   2．    3．     4．12     5．     6．11    7．     8．2009         9．4個    10．①②

11．解: 。因為△ABC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為,因為,所以△BDF的面積為,當且僅當時,取得最大值。

二、選擇題：

12．B    13．C     14．D     15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因為點的坐標為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，                                            2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因為三角形為正三角形，所以，，，                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17．解：方法一：（I）證明：連結OC，因為所以      

又所以，                               2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                 4分

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，          5分

在中，因為是直角斜邊AC上的中線，所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                       8分

（III）解：設點E到平面ACD的距離為，因為

                                                                     9分

在中， 所以

而所以，

所以點E到平面ACD的距離為。                                   12分

方法二：（I）同方法一。

（II）解：以O為原點，如圖建立直角坐標系，則 ，設的夾角為，則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。

（III）解：設平面ACD的法向量為則

         

令得是平面ACD的一個法向量。又 所以點E到平面ACD的距離       。

 18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因為所以為增函數(shù)，

，所以時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（萬美元）                         7分

又，所以時，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤為460（萬美元）                                        9分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

  11分

所以：當時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;

     當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；

     當時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分

19．解：（1）當時， ，成立，所以是奇函數(shù)；

3分

當時，，這時所以是非奇非偶函數(shù)；                                                            6分

（2）當時，設且,則

                  9分

當時，因為且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分

同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                           14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因為在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問題的質(zhì)量而定：

如問題一：當面積為時，求直線的方程。（）      得2分

問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,                              6分

從而=                     8分

    =。                  10分

（3）當時，因為,                       

 所以                                12分

當時，

因為，所以，                      14分

當時，

所以。                                                   16分

 

 

 

 


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