試題詳情

對(duì)一道數(shù)學(xué)題的展開(kāi)

賴(lài)友志

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，選好一道例題。通過(guò)一題多思，一題多解，一題多講。可以鞏固學(xué)生知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生思維，開(kāi)拓學(xué)生視野。

例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ^＋且，求ｘ＋ｙ的最小值。

法一：均值不等式法

此題答案有誤。因?yàn)棰�，⑵式的等�?hào)不能同時(shí)成立，所以⑶式等號(hào)不能取。但事實(shí)上推導(dǎo)過(guò)程無(wú)誤，只不過(guò)擴(kuò)大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導(dǎo)在選擇題時(shí)，其選擇項(xiàng)若是6，8，12，16，當(dāng)可排除6，8，12得16。

此法作為例子強(qiáng)調(diào)使用重要不等式時(shí)等號(hào)成立條件的必不可少。

法2，1的妙用

法3，構(gòu)造x+y不等式法

變式：已知x+xy+4y=5  （x,y∈R^＋）求xy取值范圍

法4，換元后構(gòu)造均值不等式法

法5，用判別式法

注意實(shí)根分布情況討論。

類(lèi)似地，如2x+y=6,求的范圍也可用判別式法。

法6，三角代換法

變：0<x<1,a>0,b>0，則的最小值

法7，導(dǎo)數(shù)法

以上所涉及到的方法都是學(xué)生應(yīng)掌握的。通過(guò)一道例題講解即可復(fù)習(xí)多種方法。

2005年1月

試題詳情

“能聽(tīng)懂課，不會(huì)解題”的原因調(diào)查與分析

按：為了搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)，利用課余時(shí)間與職業(yè)高中同仁在兩校學(xué)生中作了抽樣調(diào)查，對(duì)學(xué)生反應(yīng)的問(wèn)題作了系統(tǒng)的分析，并在此基礎(chǔ)上提出自己的一些見(jiàn)解，省教研室評(píng)為二等獎(jiǎng)。

內(nèi)容摘要：本文在對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在 “能聽(tīng)懂課，不會(huì)解題” 原因的調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)教學(xué)方法、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、學(xué)生如何學(xué)習(xí)的具體對(duì)策。

主 題 詞：聽(tīng)課  解題  調(diào)查  分析

試題詳情

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是時(shí)代的要求。要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，就應(yīng)該有與之相適應(yīng)的，能促進(jìn)創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的教學(xué)方式。當(dāng)前，數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)方式主要有以下幾種形式：

1 、開(kāi)放式教學(xué)。

這種教學(xué)在通常情況下，由教師通過(guò)開(kāi)放題的引進(jìn)，在學(xué)生參與下解決，

使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，品嘗進(jìn)行創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣。開(kāi)放式教學(xué)中的開(kāi)放題一般有以下幾個(gè)特點(diǎn)。一是結(jié)果開(kāi)放，一個(gè)問(wèn)題可以有不同的結(jié)果；二是方法開(kāi)放，學(xué)生可以用不同的方法解決這個(gè)問(wèn)題；三是思路開(kāi)放，強(qiáng)調(diào)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)的不同思路。

2 、活動(dòng)式教學(xué)。

這種教學(xué)模式主要是讓學(xué)生進(jìn)行適合自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，包括模型制作、

游戲、行動(dòng)、調(diào)查研究等，使學(xué)生在活動(dòng)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

3 、探索式教學(xué)。

采用“發(fā)現(xiàn)式”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，探索知識(shí)的形成、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、

問(wèn)題的解決等過(guò)程。

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力，應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分有效地結(jié)合上述三種形式（但不限于這三種形式），通過(guò)逐步培養(yǎng)學(xué)生的以下各種能力來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)：

一 、培養(yǎng)學(xué)生的觀察力。敏銳的觀察力是創(chuàng)造思維的起步器。那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢？第一，在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。第二，要在觀察中及時(shí)指導(dǎo)。比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對(duì)象有順序地進(jìn)行觀察，要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法，要指導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地對(duì)觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等。第三，要科學(xué)地運(yùn)用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以支持學(xué)生對(duì)研究的問(wèn)題做仔細(xì)、深入地觀察。第四，要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣。

試題詳情

1993年全國(guó)高考數(shù)學(xué)科命題組就指出：“要考查一些開(kāi)放問(wèn)題”，國(guó)家教委將“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”列為九五重點(diǎn)科研項(xiàng)目．相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題嚴(yán)密完整，開(kāi)放題在構(gòu)成問(wèn)題的要素――條件、策略、結(jié)論中有一些是不明確的（分別稱(chēng)為條件開(kāi)放題、策略開(kāi)放題、結(jié)論開(kāi)放題）．當(dāng)前數(shù)學(xué)開(kāi)放題之所以引起我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，我以為一是以實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要．?dāng)?shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性（結(jié)論開(kāi)放）、聚斂性(條件開(kāi)放)、創(chuàng)造性（策略開(kāi)放），不失為好載體．二是高考命題的導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)開(kāi)放題走進(jìn)高考試卷的需要．三是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的需要．我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)繼續(xù)深造所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，基本方法，基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題．

為了滿(mǎn)足上述三方面的需要，必需將開(kāi)放題引進(jìn)課堂教學(xué)．本文談對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處，謹(jǐn)請(qǐng)多多指教．

１、砸破籬笆，讓學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀

青少年時(shí)代是一生中最富有活力、充滿(mǎn)想象的時(shí)代．開(kāi)放題往往形式活潑，供學(xué)生思考的角度眾多，思維活動(dòng)的空間寬闊，正好給青少年學(xué)生提供了一個(gè)展翅的舞臺(tái)．而封閉題往往形式單一，要求學(xué)生在特定的范圍內(nèi)進(jìn)行定向思維．長(zhǎng)期作這類(lèi)機(jī)械式的思維訓(xùn)練，學(xué)生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅沒(méi)有促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步開(kāi)放自己，反而束縛了他們的思想．通過(guò)開(kāi)放式教學(xué)，可以讓學(xué)生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開(kāi)想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身才華．

根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場(chǎng)需要改造這一實(shí)際，我們編擬：

開(kāi)放題１ 我校準(zhǔn)備在長(zhǎng)120米，寬100米的空地上建造操場(chǎng)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)操場(chǎng)形狀，思考能否造出滿(mǎn)足以下條件的環(huán)形操場(chǎng)．

①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內(nèi)圈為300米．

本題有學(xué)生認(rèn)為不能造出滿(mǎn)足要求的操場(chǎng)，他認(rèn)為操場(chǎng)應(yīng)由兩個(gè)半圓和一個(gè)矩形構(gòu)成（如圖１），經(jīng)計(jì)算，跑道內(nèi)圈無(wú)論如何達(dá)不到300米的要求．也有學(xué)生認(rèn)為能造出滿(mǎn)足要求的操場(chǎng)，可將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖２，由四個(gè)四分之一圓弧及五個(gè)矩形構(gòu)成．還有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖３，彎道部分由三段圓弧組成，他們認(rèn)為這樣才是操場(chǎng)．更有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成花園式（如圖４），跑道全部由圓弧組成，他們認(rèn)為這樣的操場(chǎng)更美．

開(kāi)放題2  用一塊長(zhǎng)2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計(jì)加工鏡子(注S_橢=)．

本題主要考察學(xué)生如何畫(huà)出橢圓，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學(xué)生親手畫(huà)一畫(huà)，動(dòng)手截一下．學(xué)生至少可從以下幾個(gè)角度去思考:①建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出方程描點(diǎn)；②確定焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；④用橢圓規(guī)工作原理(P124)．

2、傳授定式，幫學(xué)生克服畏懼的心理

開(kāi)放題引入課堂教學(xué)之初，學(xué)生的表現(xiàn)往往士為一是覺(jué)得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開(kāi)放題的求解思路，幫學(xué)生建立科學(xué)的思維定式．

⑴尋找充分條件型開(kāi)放題．

開(kāi)放題3　在直四棱柱中（如圖５），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件       時(shí)，有（填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．

這類(lèi)題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個(gè)充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件．這類(lèi)問(wèn)題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點(diǎn)，學(xué)生一開(kāi)始往往不習(xí)慣．

⑵“是否存在”型開(kāi)放題．

開(kāi)放題4  設(shè){}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和.是否存在常數(shù)Ｃ>0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）．

這類(lèi)開(kāi)放題的答案，不是肯定就是否定，開(kāi)放度較�。�若“存在”，就是具有適合條件的某種數(shù)學(xué)對(duì)象，無(wú)論用什么方法，只要找出一個(gè)就說(shuō)明存在．若“不存在”，一般需要有嚴(yán)格的推理論證．故這類(lèi)“是否存在”型開(kāi)放題的解決思路一般為，先假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果找出矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，進(jìn)而否定假設(shè)，如果經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推理，沒(méi)有找到矛盾，說(shuō)明確實(shí)存在，找出滿(mǎn)足條件的一個(gè)對(duì)象即可．

⑶猜想型開(kāi)放題．

開(kāi)放題5  已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列,b₁＋b₂＋……＋b_ｎ＝145， b₁=1．①求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；②設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n= 其中a＞0且a≠1），s_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較s_n與的大小(1998高考理科第25題)．

解答這類(lèi)開(kāi)放題，要求學(xué)生學(xué)會(huì)猜想．牛頓早就說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”美國(guó)數(shù)學(xué)教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測(cè)吧！”可我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，往往過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，忽視實(shí)驗(yàn)猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥、無(wú)趣、難學(xué)．

我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何猜想．教學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察，進(jìn)行猜想，教學(xué)生通過(guò)對(duì)特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規(guī)律（共性），教學(xué)生通過(guò)比較、概括得到猜想，教學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)也是生動(dòng)活潑，充滿(mǎn)激情，并富有哲理的一門(mén)學(xué)科．不至于學(xué)生說(shuō)“過(guò)了幾十年，還做學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惡夢(mèng)”（徐利治語(yǔ)，見(jiàn)文５）．

３、開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，用計(jì)算機(jī)輔助開(kāi)放式教學(xué)

利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算功能和作圖功能輔助開(kāi)放式教學(xué)，有利于改善課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；有利于“觀察（實(shí)驗(yàn)）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運(yùn)用，快捷方便地驗(yàn)證學(xué)生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動(dòng)的時(shí)間．

開(kāi)放題6 （荒島尋寶）從前，有個(gè)年輕人在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)一張破羊皮紙，上面指明了一項(xiàng)寶藏，內(nèi)容是這樣的：

“在北緯＊＊，西經(jīng)＊＊，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹(shù)，一棵松樹(shù)和一座絞架．從絞架走到橡樹(shù)，并記住所走的步數(shù)，到了橡樹(shù)向左拐一個(gè)直角，再走相同的步數(shù)并在那里打個(gè)樁．然后回到絞架再朝松樹(shù)走去，同時(shí)記住所走的步數(shù)，到了松樹(shù)向右拐一個(gè)直角，再走相同的步數(shù)并在那里也打個(gè)樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏．”

年輕人欣喜萬(wàn)分，租船來(lái)到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹(shù)和松樹(shù)，但絞架卻不見(jiàn)了．長(zhǎng)期的日曬雨淋，一切痕跡也不復(fù)存在．年輕人無(wú)從下手，只好空手而返．同學(xué)們，你能用數(shù)學(xué)方法幫助這位年輕人嗎？

本題，學(xué)生往往不知從何處入手．如果我們利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件幾何畫(huà)板制作圖６（設(shè)Ａ，Ｂ兩點(diǎn)為橡樹(shù)和松樹(shù)所在地，假設(shè)Ｃ為絞架所在地．依題意找到打樁處Ｄ，Ｅ）．不妨先讓我們做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)．拖動(dòng)點(diǎn)C，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論C在何處，DE中點(diǎn)H是不動(dòng)的．我們問(wèn)：這說(shuō)明什么？寶藏是否就在中點(diǎn)Ｈ處？

這樣，學(xué)生將會(huì)積極地思索，不難從解析幾何，復(fù)數(shù)、向量、平面幾何角度尋求具體的解決方法．

學(xué)習(xí)“過(guò)拋物線 的頂點(diǎn)Ｏ作二條互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)則弦AB 恒過(guò)定點(diǎn)(2P ，O ) ”之后,引導(dǎo)學(xué)生探討：

開(kāi)放題7  過(guò)拋物線 上任一點(diǎn)C(， ) 作二條互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 則弦AB有什么特性? 利用幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)如圖 ；

 探討過(guò)程為 ：

1 、雙擊移動(dòng)按紐 “ 移 動(dòng)C→O ” 顯示直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，弦AB 恒過(guò)定點(diǎn)(2P ，0)  .

2、直角頂點(diǎn)移回C 處，對(duì)AB作軌跡跟蹤，發(fā)現(xiàn)弦AB過(guò)一定點(diǎn).

3、作出該定點(diǎn)D并顯示該點(diǎn)坐標(biāo).

4、尋找關(guān)系：⑴ 顯示C及點(diǎn)C關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同.⑵ 作出線段ED并顯示長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn) ED = 2P.

5 、改變點(diǎn)C 的位置，或拖拉焦點(diǎn)F,變化P 的長(zhǎng)度再作上述觀察.確認(rèn)我們的結(jié)論正確,從而猜想弦AB恒過(guò)定點(diǎn)D(，)  .

6 、用代數(shù)方法證明以上猜想.

參考資料

1、戴再平：數(shù)學(xué)習(xí)題理論，上海教育出版社．1991.4

2、張奠宙：數(shù)學(xué)教育的全球化，開(kāi)放化、信息化、數(shù)學(xué)教育．1998.5

3、王珂：從高考的新題型―開(kāi)放題引起的思考，數(shù)學(xué)通報(bào)． 1999.12

４、陳錫龍:設(shè)計(jì)開(kāi)放性的數(shù)學(xué)教學(xué)初探,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考．1999.10

５、“現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的影響”數(shù)學(xué)家座談會(huì)紀(jì)要            數(shù)學(xué)通報(bào)． 1999,11.

試題詳情

例 談 情 境 教 育

內(nèi)容提要：情境教育是素質(zhì)教育的一種教育模式，它服務(wù)于素質(zhì)教育，是實(shí)施素質(zhì)教育的一條有效途徑。創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，能使數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到意想不到的效果。本文從兩個(gè)定理的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，以及達(dá)到的教學(xué)效果出發(fā)，論述情境教育在素質(zhì)教育中的重要意義。

關(guān)鍵詞：情境教育；情境教學(xué)；素質(zhì)教育

一 情境教育

情境教育是由情境教學(xué)發(fā)展而來(lái)的。近半個(gè)世紀(jì)來(lái)，中國(guó)的教育受凱烙夫教育思想的影響極深，注重認(rèn)知，忽略情感，學(xué)校成為單一傳授知識(shí)的場(chǎng)所。這就導(dǎo)致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質(zhì)的全面提高，尤其是影響了情感意志及創(chuàng)造性的培養(yǎng)和發(fā)展。情境教學(xué)則針對(duì)我國(guó)傳統(tǒng)的注入式教學(xué)造成的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的弊端而提出的，這些弊端是：呆板、繁瑣、片面、低效，以及壓抑學(xué)生興趣、特長(zhǎng)、態(tài)度、志向等素質(zhì)發(fā)展。情境教學(xué)開(kāi)辟了一條促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)展，人格素質(zhì)全面發(fā)展的有效途徑。

情境教育反映在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要求教師注重?cái)?shù)學(xué)的文化價(jià)值，創(chuàng)設(shè)有利于當(dāng)今素質(zhì)教育的問(wèn)題情境。在數(shù)學(xué)課中加入數(shù)學(xué)史的講授會(huì)使學(xué)生興趣盎然。任何一個(gè)靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來(lái)，就會(huì)對(duì)它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導(dǎo)和證明，還指出它的思考路線，以及學(xué)者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過(guò)，課堂氣氛會(huì)立刻活躍起來(lái)。教師也可以適當(dāng)介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學(xué)生開(kāi)闊了眼界，知道一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程竟如此曲折，印象會(huì)非常深刻。講述定理的來(lái)龍去脈，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，使他們從多方面去思考問(wèn)題。教師可以給予一定的物質(zhì)條件，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流。

二 兩個(gè)定理的教學(xué)

在初二幾何的勾股定理的教學(xué)中，如果教師講授新課時(shí)，照本宣科地將知識(shí)程式化地交給學(xué)生，學(xué)生即使知其然，卻不知其所以然。失去了對(duì)知識(shí)、技能、方法的領(lǐng)悟過(guò)程。不如先給學(xué)生講“勾股定理”的歷史及其一些著名的證明方法，把學(xué)生帶入勾股定理的教學(xué)情境。

教師可介紹：《九章算術(shù)》記載：今有勾三尺，股四尺，問(wèn)為弦?guī)缀�。答曰：五尺[1]。

我國(guó)古代稱(chēng)直角三角形的短直角邊為勾，長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦[2]。又如《周髀算經(jīng)》稱(chēng)：“勾廣三，股修四，徑隅五�！闭n本表述為：勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理，國(guó)外稱(chēng)為：畢達(dá)哥拉斯定理。勾股定理作為幾何學(xué)中一條重要的定理，古往今來(lái)，有無(wú)數(shù)人探索它的證明方法。同學(xué)們能否猜出有幾種證法？怎么證？

這個(gè)問(wèn)題一提出，就讓學(xué)生倍感新鮮、有趣。當(dāng)教師告訴學(xué)生它的證明方法有500來(lái)種，更讓他們吃驚。接著教師可以向?qū)W生介紹歷史上幾種著名的證法。如果學(xué)校教學(xué)條件允許的話，教師可發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，利用現(xiàn)代教育媒體，配合教學(xué)課件，為學(xué)生展現(xiàn)證明的過(guò)程，使學(xué)生印象更深刻。

（課件演示）

（一）     劉徽以割補(bǔ)術(shù)論證這一定理（圖1）

（二）     趙君卿注里記載的證法    （圖2）

2ab+(b-a)²=c² 化簡(jiǎn)為 a²+b²=c²

（三） 利用相似三角形的性質(zhì)的證法 （圖3）

直角三角形ABC，AD為斜邊BC上的高。

利用相似三角形的性質(zhì)可得：

AB∶BC=BD∶AB   即   AB²=BD×BC

      AC∶BC=DC∶AC        AC²=DC×BC   

    兩式相加得：AB²+AC²=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC²

	B   朱出   a 朱方   青入 C      b   A 青入        朱入           青出 青出        c          a b                 （圖1）          （圖2）        （圖3） （四）如圖一：兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是a，b。它們的面積和為 a2+b2       如圖二：在圖一的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了以a，b為直角邊的直角三角形，斜邊為c。 在圖二的基礎(chǔ)上把兩個(gè)直角三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)成了如圖三的正方形，且它的邊長(zhǎng)為c，即面積為c2。 定理得證。       a   c         b a   b a     c b b      a         （圖一）               （圖二）                （圖三）   教師在演示課件時(shí)，可介紹這幾種證明方法，讓學(xué)生清楚運(yùn)用割補(bǔ)法、等比法、代數(shù)法等可證明定理。學(xué)生們觀看了教師所演示的勾股定理的幾種證法之后，有了一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，并為之驚嘆！產(chǎn)生“竟有此事”之感。如此簡(jiǎn)明、巧妙的證法，且都是非常形象、簡(jiǎn)單。這時(shí)，教師可抓住這時(shí)學(xué)生產(chǎn)生驚詫?zhuān)�思維正處于積極活動(dòng)狀態(tài)的教學(xué)情境，讓學(xué)生用課前準(zhǔn)備的材料，自己動(dòng)手試一試。 要求：用8個(gè)全等的直角三角形，它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c；3個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，用拼圖的方法來(lái)證明勾股定理。             （圖4）     教師演示的各種前人證明勾股定理的方法，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，他們迫不及待地想自己動(dòng)手嘗試，希望自己也能證明定理。由于有了許多前人的證法作鋪墊，學(xué)生有條件、有能力去思索和探究。學(xué)生們?cè)诮處煹闹笇?dǎo)下，很快就能把定理證出來(lái)（如圖4）。教師也就能在一個(gè)輕松的環(huán)境中完成“勾股定理”的教學(xué)。 因此，教師所創(chuàng)設(shè)的這個(gè)勾股定理的教學(xué)情境，由于引入了勾股定理的歷史背景，及簡(jiǎn)明、巧妙的證法，為學(xué)生學(xué)習(xí)定理提供了環(huán)境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，培養(yǎng)了學(xué)生的求知欲望。教學(xué)過(guò)程中教師還要求學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，使學(xué)生深入其境，真正作為一個(gè)主體去從事研究。調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性[3]。提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和動(dòng)手能力，學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中，免不了與其他同學(xué)合作、交流，同時(shí)也就培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神，在這過(guò)程還能使學(xué)生嘗試失敗和挫折，體驗(yàn)成功的喜悅！所有這些，都對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)起了一定的激勵(lì)作用。所以，實(shí)施素質(zhì)教育，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境至關(guān)重要。 在素質(zhì)教育中，我們提倡提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。所謂教學(xué)效率是學(xué)習(xí)收獲與師生的教學(xué)活動(dòng)量在時(shí)間尺度上的度量。教師只有注重提高課堂教學(xué)效率，才能在保證教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，努力減輕數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生獲得較好的自由度，發(fā)揮較大的積極性和主動(dòng)性。下面以“三角形中位線定理”一節(jié)為例[4]，談?wù)勄榫辰虒W(xué)對(duì)提高課堂教學(xué)效率的積極作用。 在“三角形中位線定理”這一節(jié)中，教科書(shū)中利用“平行線等分線段定理推論2”得到了“三角形中位線定理”。它是運(yùn)用同一法思想來(lái)推理的。初中學(xué)生還不容易接受，但決不能因此而簡(jiǎn)單地把定理告訴學(xué)生，然后就開(kāi)始練習(xí)。我們可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟發(fā)誘導(dǎo)引入新知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓他們?cè)谄惹幸�求之下學(xué)習(xí)。 在復(fù)習(xí)平行線等分線段定理的推論2后，結(jié)合圖形（圖5）分清定理的條件是AD=BD，DE∥BC。結(jié)論是AE=CE。 （圖5） 提出問(wèn)題后，學(xué)生可能證明結(jié)論有些困難，這時(shí)可稍作引導(dǎo)，提醒學(xué)生：“我們現(xiàn)有幾種判定平行的方法？”學(xué)生容易聯(lián)想到同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)等方法，可提醒學(xué)生還有：平行四邊形來(lái)判定對(duì)邊平行。并注意條件是AD=BD，AE=CE。這時(shí)同學(xué)們經(jīng)思考有些已找到思路。通常能找到兩種證明方法。 一種是如圖6，延長(zhǎng)DE至F使EF=DE。由ΔADE≌ΔCFE得AD∥CF且AD=CF。從而證得四邊形DBCF是平行四邊形，所以DE∥BC。 （圖6） 教師可用多媒體設(shè)備，演示課件，把兩個(gè)證明過(guò)程演示出來(lái)，這樣更吸引了學(xué)生的注意，最后介紹教科書(shū)上的推理過(guò)程。在這樣的教學(xué)過(guò)程中，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，又使學(xué)生對(duì)三角形中位線定理有了深刻的理解。同時(shí)活躍了學(xué)生的思維，收到較好的課堂教學(xué)效果。 但教師應(yīng)不極限于常規(guī)的證法，應(yīng)積極創(chuàng)造條件，要學(xué)生去思索、去研究、去創(chuàng)造。比如三角形中位線定理，可嘗試用向量的方法來(lái)證明。 如圖7，在ΔOAB中，C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，設(shè)有向線段  ， ∴ 同理： （圖7） 用向量計(jì)算代替?zhèn)鹘y(tǒng)平面幾何中有些過(guò)于復(fù)雜的演繹推理，這不僅是一種解題方法的變革，更重要的是研究平面幾何的觀點(diǎn)的變革。這種變革，已逐漸成為平面幾何教材的一種流派。用向量法計(jì)算，有時(shí)可避免用演繹法時(shí)所帶來(lái)的某些麻煩。 這里教師還可設(shè)置懸念，為下節(jié)課梯形中位線定理的教學(xué)埋下伏筆。讓學(xué)生親自動(dòng)手畫(huà)梯形，并測(cè)量其上、下底和中位線的長(zhǎng)度，要求學(xué)生探索梯形的上、下底和中位線是否和三角形一樣具有一定的數(shù)量關(guān)系。這樣會(huì)激起學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。 由于學(xué)生親自做一做，測(cè)一測(cè)，猜一猜等實(shí)踐活動(dòng)，初步得出結(jié)論：梯形中位線好象平行于兩底并且約等于兩底和的一半。這時(shí)教師可通過(guò)多媒體關(guān)于角的重疊，線段的疊加等演示活動(dòng)，讓學(xué)生形象直觀的進(jìn)一步加深對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)正確性的強(qiáng)烈印象。教師再給出證明定理的基本策略提示： （一）           證線段平行的途徑和方法： 1、兩條平行線互相平行→證線段平行 2、平行四邊形兩組對(duì)邊平行→證平行四邊形 3、三角形中位線平行底邊→證三角形中位線 （二）           證明一線段等于兩線段和的途徑和方法有：      把線段分成兩段使其分別與要證的兩線段相等，或把兩線段合成一線段使其與另一線段相等，再利用三角形全等，或用三角形中位線定理證之。 證明基本策略給出后就給了學(xué)生充分自主的活動(dòng)空間，充分調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性，使其成為學(xué)習(xí)的主人。因此，學(xué)生得出許多不同的證明方法。     （方法一）        （方法二）            （方法三）                （方法四）                    （方法五）     這種讓學(xué)生實(shí)踐、體驗(yàn)的教學(xué)方式與傳統(tǒng)教學(xué)中單純的知識(shí)傳授和結(jié)果測(cè)查截然不同的，它更注重于學(xué)習(xí)的過(guò)程。 學(xué)習(xí)完了定理，如何讓學(xué)生更好地掌握定理呢？數(shù)學(xué)中的定理是一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)體系，要掌握一個(gè)定理，必須了解它在定理體系中的地位和作用，以及它們之間的關(guān)系。雜亂無(wú)章的定理，猶如散沙一盤(pán)，不便于保持和選取。在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生按定理的內(nèi)在聯(lián)系將它們組織成一個(gè)邏輯圖，形成定理鏈，使之在定理的結(jié)構(gòu)體系中掌握定理。如“三角形中位線定理”與“梯形中位線定理”的聯(lián)系：（如圖8）當(dāng)梯形的上底等于零時(shí)，梯形變成三角形，這時(shí)，“梯形中位線定理”與“三角形中位線定理”等價(jià)，即“三角形中位線定理”是當(dāng)梯形上底等于零時(shí)的“梯形中位線定理”。教師可以用多媒體課件演示它們之間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)它們的關(guān)系的理解。   （圖8）         在此過(guò)程中，教師還可進(jìn)一步拓展定理，提出：“當(dāng)梯形和三角形的中位線所在的直線向上、下平移時(shí)，會(huì)產(chǎn)生什么后果？各線段之間有何聯(lián)系？”這樣又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問(wèn)題情境，使學(xué)生很自然地進(jìn)入到另一個(gè)問(wèn)題情境中，教師也就順利地把學(xué)生的思維帶到了“平行線分線段成比例定理及其推論”的教學(xué)中來(lái)。這個(gè)教學(xué)過(guò)程是師生交流、共同發(fā)展的互動(dòng)過(guò)程，教師在教學(xué)過(guò)程中，不僅是傳播知識(shí)，更重要的是發(fā)揮育人的功能，培養(yǎng)學(xué)生掌握和利用知識(shí)的素質(zhì)和能力。發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學(xué)生的潛能，提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。 三 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題 以上兩個(gè)例子的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)說(shuō)明：情境教學(xué)能促進(jìn)教學(xué)過(guò)程變成一種不斷能引起學(xué)生極大興趣的，向知識(shí)領(lǐng)域不斷探索的活動(dòng)。它借助新異的教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，使學(xué)生固有的好奇心、求知欲得以滿(mǎn)足。但應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題： 1、      教師在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境時(shí)，一定要緊扣課題，不要故弄玄虛，離題太遠(yuǎn)，要有利于激發(fā)學(xué)生思維的積極性、要直接有利于當(dāng)時(shí)所研究的課題的解決，既要考慮教學(xué)內(nèi)容又要考慮學(xué)生的差異，注意向?qū)W生提示設(shè)問(wèn)的角度和方法。使學(xué)生從教師的情境設(shè)計(jì)教學(xué)中學(xué)到提問(wèn)題的本領(lǐng)。一個(gè)好問(wèn)題應(yīng)該是解答中包含著明顯的數(shù)學(xué)概念與技巧；或問(wèn)題有多種解法；或問(wèn)題能夠推廣各種情形；或問(wèn)題來(lái)自學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和日常生活中[5]。 2、      要啟發(fā)引導(dǎo)，保持思維的持續(xù)性。首先要給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，必要時(shí)可作適當(dāng)?shù)膯�發(fā)引導(dǎo)，教師的啟發(fā)要遵循學(xué)生思維的規(guī)律，因勢(shì)利導(dǎo)、步步釋疑，切不可不顧學(xué)生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)，超前引路，也不可強(qiáng)制學(xué)生按照教師提出的方法和途徑去思考問(wèn)題，越俎代庖。 3、      要不斷向?qū)W生提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要提出帶有導(dǎo)向性、難度適宜、啟發(fā)性的問(wèn)題。其實(shí)，問(wèn)題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問(wèn)題，是否能夠觸及問(wèn)題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考。 4、      鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，保護(hù)學(xué)生的獨(dú)特見(jiàn)解，即使對(duì)沒(méi)有多大價(jià)值的問(wèn)題，也要盡量找出合理部分，給予及時(shí)的肯定和表?yè)P(yáng)。 四 結(jié)束語(yǔ) 教學(xué)實(shí)踐證明，精心創(chuàng)設(shè)各種教學(xué)情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)又使課堂教學(xué)豐富多彩，生動(dòng)活潑，另外，對(duì)教師也提出了更高要求，不僅自己要刻苦鉆研、精心設(shè)計(jì)，而且要經(jīng)常向別人學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)別人先進(jìn)的教學(xué)方法和設(shè)計(jì)思路，另外還要敢于示范，在學(xué)生面前展示自己的思維過(guò)程，在教學(xué)中應(yīng)打破“老師講，學(xué)生聽(tīng)”的習(xí)慣，變“傳播”為“探究”，充分暴露知識(shí)形成的過(guò)程，促使學(xué)生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，獲得成功，同時(shí)激發(fā)學(xué)生鉆研，從而為學(xué)生將來(lái)成為創(chuàng)造型人才奠定基礎(chǔ)。總之，情境教育是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑。       參考文獻(xiàn) 【1】白尚恕 《九章算術(shù)》注釋[M]  科學(xué)出版社  1983 【2】人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 幾何[M]   人民教育出版社 2001，3 【3】燕國(guó)材 素質(zhì)教育概論[M]  廣東教育出版社  2002，1 【4】陳  虹 教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化一例[J]  中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2000年，第2期 【5】 施文娟 發(fā)揮問(wèn)題情境教育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J]  寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版）2001年，第3期         試題詳情 “直線與平面”錯(cuò)解點(diǎn)擊 四川省樂(lè)至縣吳仲良中學(xué)   毛仕理   641500  (0832)3358610 maoshili@126.com         在“直線與平面”內(nèi)容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關(guān)系，引進(jìn)了一些基本概念和數(shù)學(xué)方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對(duì)于這類(lèi)特定的概念理解不準(zhǔn)確，對(duì)這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時(shí)就容易出錯(cuò)．      下面通過(guò)幾例，對(duì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的解法進(jìn)行分析，研究糾正錯(cuò)誤的方法，從中吸取有益的教訓(xùn)，以加深對(duì)知識(shí)的理解，提高解題能力．      例1  證明；斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上．      錯(cuò)解  如圖,   對(duì)于平面，直線AB是垂線，垂足B是點(diǎn)A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．      在AC上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO⊥交BC于O，      ∴點(diǎn)P在平面上的射影在BC上．      點(diǎn)擊   這樣的證明似乎有點(diǎn)道理，事實(shí)上這些點(diǎn)也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細(xì)分析，這些點(diǎn)在這條斜線在該平面的射影上的理論根據(jù)不足，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥交BC于O，恰恰是本題要證明的．是一種易犯的邏輯錯(cuò)誤，許多同學(xué)在解題中往往錯(cuò)而不覺(jué)，對(duì)此應(yīng)引起警覺(jué)．      正解   AC是平面的斜線，點(diǎn)C是斜足，AB⊥，點(diǎn)B是垂足．      則BC是AC在平面上的射影．      在AC上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥,垂足為O．       ∴AB⊥，  ∴PO ∥AB，       ∵點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面上，因此，PO平面ABC，       ∴ O∈BC．      例2  已知、是兩個(gè)不重合的平面，      ①若平面⊥平面，平面⊥平面，則平面∥平面；      ②若平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則平面∥平面；      ③a、b是平面內(nèi)的兩條直線，且a∥，b∥，則平面∥平面；      以上正確命題的個(gè)數(shù)為(    )．      (A)O個(gè)          (B)1個(gè)          (C)2個(gè)        (D)3個(gè)      錯(cuò)解  三個(gè)命題都正確，選(D)．      點(diǎn)擊   產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)問(wèn)題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關(guān)系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋“特殊”．如判斷①、②是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況．         (1)             (2)                 (3)             (4)      而判斷③是真命題，則是對(duì)平面與平面平行的判定定理：“如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”沒(méi)有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相交直線”．      正解    因?yàn)槿齻�(gè)命題都不正確，所以選(A)．      例3  如圖   E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的三等分點(diǎn)，求證：E1H1，與F1G2是異面直線．     錯(cuò)證1  (直接法)                 ①連BD，由題設(shè)=，=，      ∴ E1H1與BD不平行，設(shè)其交點(diǎn)為P， 則P∈BD．      ∵ ==,      則  F1G2∥BD，∴  PF1G2．      ②又E1P平面BCD，且E1∈E1P，       ∴ E1平面BCD．     故平面BCD內(nèi)一點(diǎn)P與平面BCD外一點(diǎn)E1的連線E1P(即E1H1)與平面BCD內(nèi)不過(guò)P點(diǎn)的直線F1G1是異面直線．       錯(cuò)證2   (反證法)       設(shè)E1H1與F1G2不是異面直線，則E1H與F1G相交或E1H1∥F1G2．       ①設(shè)E1H1 ∩F1G2=P，        ∵E1H 平面ABD，F(xiàn)1G 平面CBD，       則E1H1與F1G2的公共點(diǎn)P應(yīng)在平面ABD與平面CBD的交線BD上，       則F1G2∩ BD=P，這與F1G2∥BD    (∵△CBD中，==)矛盾，       ∴ E1H1與F1G2不相交．       ②設(shè)E1H1∥F1G2，        ∵ F1G2∥BD，由公理4知       E1H1∥BD，這與E1H1 BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1與BD不平行，必相交于一點(diǎn)P)矛盾，       ∴ E1H1與F1G2不平行．       綜合(1)、(2)知E1H1與F1G2是異面直線．       點(diǎn)擊    采用證法1時(shí)，有些同學(xué)往往忽略強(qiáng)調(diào)點(diǎn)P在平面CBD上但不在直線F1G2上，且點(diǎn)E1在直線E1P上但不在平面CBD上，只證E1H1與F1G2無(wú)公共點(diǎn)的一面，而忽視它們不在同一平面上，便得出E1H1與F1G2是異面直線的結(jié)論，這是對(duì)其判定定理的片面理解，因而是錯(cuò)誤的．       在采用證法2時(shí)，易犯的錯(cuò)誤也是不全面，只排除了E1H1與F1G2不可能相交而忽略了還應(yīng)排除它們平行的可能．因此，一定要深刻理解異面直線的定義，克服證題中的片面性．       例4  在正方體ABCD―A1B1C1D1中，求它的對(duì)角線BD1與平面A1B1CD所成的角． 錯(cuò)解   連結(jié)A1C交BD1于E，則∠D1EA為BD1與平面A1B1CD所成角．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a. 則A1E=D1E=a．又  A1D1=a， 在△A1ED1中，由余弦定理得 cos∠A1ED1= ===      ∴∠A1ED1=arccos,即BD1與平面A1B1CD所成角為arccos.      點(diǎn)擊   以上證法的錯(cuò)誤在于，∠A1ED1不是直線BD1與平面A1B1CD所成的角.平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角，本題中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影．正是對(duì)“直線在平面內(nèi)的射影”這個(gè)概念理解不清，導(dǎo)致了以上錯(cuò)誤，所以在解此類(lèi)題時(shí)，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影. 正解    ∵A1B1⊥平面A1ADD1,   又A1B1平面A1B1CD ∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD. 連結(jié)AD1交A1D于O,則D1O⊥A1D, ∴D1O⊥平面A1B1CD. 連A1C交BD1于E，連OE，則OE為D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影, ∴∠D1EO為BD1與平面A1B1CD所成的角. 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a, 則D1O=a, OE=AB=a, 在RtD1OE中,    tan∠D1EO==,       ∴ ∠D1E0=aretan，即BD1與平面A1B1CD所成的角為arctan.      例5  已知，AB是半徑為R的⊙O的直徑，0C⊥AB，P、Q是圓上兩點(diǎn)，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折疊使半圓面成一直二面角(如圖)，求P、Q兩點(diǎn)間的距離. 錯(cuò)解   在平面AOC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，則PD⊥平面BOC，連結(jié)DQ，       ∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A―O―CB的平面角，        ∴∠PDQ=900．        ∵∠AOP=300， ∴∠POD=600．     在Rt△POD中， PD=Rsin600=R,     在Rt△DOQ中， DQ=Rsin450=R,      ∴在Rt△PDQ中，PQ===,       即P、Q兩點(diǎn)間的距離是．     點(diǎn)擊   此證法的錯(cuò)誤在于對(duì)二面角的平面角理解有誤．判定一個(gè)角是否是二面角的平面角，必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③這兩條射線都必須垂直于棱．誤解中忽視了條件③中的“都”字，事實(shí)上，DQ與OC不垂直，這再次提醒我們必須搞清空間每個(gè)元素的確切含義，概念一定要清楚，解題過(guò)程中要嚴(yán)格按定義要求落實(shí)，不能隨心所欲．     正解   同錯(cuò)解，得PD=R. 又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得     DQ2=0D2+0Q2一20D?OQcos450       ==R2     在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=                         ==. 故P、Q兩點(diǎn)之間的距離為. 試題詳情 西南師大附中2008―2009學(xué)年度上期期末考試 高一化學(xué)試題 （總分：150分    考試時(shí)間：120分鐘） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)和考試科目用鋼筆、鉛筆分別填在機(jī)讀卡和第II卷密封線內(nèi)。 2．第I卷每小題選出答案后，用鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。 3．第II卷用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卷上。 4．考試結(jié)束，將機(jī)讀卡和答題卷上交（第I卷和第II卷自己保留好，以備評(píng)講） 第Ⅰ卷  選擇題（共72分） 相對(duì)原子質(zhì)量：  H 1   He 4   C 12    N 14    O 16     Na 23    F 19   Al 27   Cl 35.5                 K 39    Mn 55   Fe 56    Cu 64    Br 80   Ag 108  試題詳情 高二化 學(xué) 試 題（B卷） 注意事項(xiàng)： 1. 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷 54分，第Ⅱ卷 46分，共100分，考試時(shí)間90分鐘。 2．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上。 3．答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能寫(xiě)在試卷上。答第Ⅱ卷時(shí)，用藍(lán)、黑鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。 相對(duì)原子質(zhì)量：H1 C12  N14  O16  F19  Na23  Mg24  Al27  P31  S32  Cl35.5  K39  Ca40  Mn55 Fe56  Cu64  Zn65  Br80  Ag108  I127 第Ⅰ卷（選擇題 共54分） 試題詳情 2008年哈九中第五次月考語(yǔ)文試題               2008年12月29日 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分，考試時(shí)間7：40――10：00，140分鐘。 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷(選擇題共30分)    注意事項(xiàng)：    1． 答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。    2． 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答案在試卷上的無(wú)效。 試題詳情 同步練習(xí)冊(cè)答案 全品作業(yè)本答案 同步測(cè)控優(yōu)化設(shè)計(jì)答案 長(zhǎng)江作業(yè)本同步練習(xí)冊(cè)答案 同步導(dǎo)學(xué)案課時(shí)練答案 仁愛(ài)英語(yǔ)同步練習(xí)冊(cè)答案 一課一練創(chuàng)新練習(xí)答案 時(shí)代新課程答案 新編基礎(chǔ)訓(xùn)練答案 能力培養(yǎng)與測(cè)試答案 更多練習(xí)冊(cè)答案 百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū) 違法和不良信息舉報(bào)電話：027-86699610 舉報(bào)郵箱：58377363@163.com 版權(quán)聲明：本站所有文章，圖片來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，著作權(quán)及版權(quán)歸原作者所有，轉(zhuǎn)載無(wú)意侵犯版權(quán)，如有侵權(quán)，請(qǐng)作者速來(lái)函告知，我們將盡快處理，聯(lián)系qq：3310059649。 ICP備案序號(hào): 滬ICP備07509807號(hào)-10 鄂公網(wǎng)安備42018502000812號(hào)