2.定義法 [例3]設集合M={直線}.P={圓}.則集合M∩P中的元素個數(shù)為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.0或1或2 [分析]本題考查集合的交集與并集的運算.是一道概念性極強的試題.可使用定義法求解. [解]因集合M={直線}.P={圓}.集合M∩P中的元素既是直線且又是圓.顯然這樣的元素不存在.從而M∩P=.答案選A. [點悟]①解題關鍵點是正確理解集合的交集與并集的運算及M∩P的意義.集合的交集是由既屬于集合A且又屬于集合B的公共元素組成的集合.它強調的是“且 的關系,并集是由屬于A或屬于集合B之一的元素組成的集合.它強調的是“或 的關系. ②解題規(guī)律:定義法解題的一般步驟為:(ⅰ)分析和研究所給問題中已知的條件和待求的解題目標,(ⅱ)回憶有關概念的內涵和要點,(ⅲ)用定義去指導解題活動. ③解題易錯點是將M∩P誤認為是直線與圓的交點個數(shù)問題.從而誤選D.本題若改為為常數(shù).且a,b不同時為零}..則M∩P中的元素個數(shù)應為0或1或2. [例4]已知集合A={a.b.c.d}.B={a2.b2.c2.d2}.其中A?N*.B?N*.a<b<c<d.且A∩B={a,d}.a+d=10. (1)求a.d, (2)若A∪B中所有元素的和為124.你能確定集合A.B中的所有元素嗎? [分析](1)根據(jù)交集的意義及其題設.求解出a.d. (2)由A∩B中的元素個數(shù)為2.而A與B的元素個數(shù)均為4個可知:A∪B中共有6個元素.且其中有四個元素分別為1.3.9.81.而另兩個元素分別為x與x2.一個未知數(shù).還有一個和的條件.可以求解x.進而可求得集合A與B. [解](1)因A∩B={a,d}.且a<b<c<d.于是 a= a2.解得 a=1(a=0.不合.舍去).從而 d=9. (2)A={1,b,c,9}.B={1,b2,c2,81}. 因 A∩B={1,9}.故 3∈A.9∈B. 于是可設A={1.3.9.x}.B={1.9.81.x2}.其中x<9. 依題設有 1+3+9+x+81+ x2=124. 解得 x=5(x= -6.不合.舍去). 故 A={1.3.5.9}.B={1.9.25.81}. [點悟]①解題關鍵點是熟練掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互異性.無序性.確定性)進行解題. ②解題規(guī)律:對于遞進型的綜合問題.應采取各個“擊破 .“分而治之 .直至“殲滅 的辦法. ③解題易錯點求集合的并運算.不是兩個集合所有元素的簡單迭加,另外容易忽視集合元素的互異性.即相同的元素在一個集合中只算一個元素. [例5]在下列電路圖中.閉合開關A是燈泡B亮的什么條件: 圖1 (1)中.開關A閉合是燈泡B亮的 條件, 圖1 (2)中.開關A閉合是燈泡B亮的 條件, 圖1 (3)中.開關A閉合是燈泡B亮的 條件, 圖1 (4)中.開關A閉合是燈泡B亮的 條件. [分析]首先根據(jù)電路的串并聯(lián)知識.分析開關A閉合是否有燈泡B亮.然后根據(jù)充分而不必要條件.必要而不充分條件.充要條件的含義作答. [解](1)開關A閉合.燈泡B亮,反之.燈泡B亮.開關A閉合.于是開關A閉合是燈泡B亮的充要條件. (2)僅當開關A.C都閉合時.燈泡B才亮,反之.燈泡B亮.開關A必須閉合.故開關A閉合是燈泡B亮的必要而不充分條件. (3)開關A不起任何作用.故開關A閉合是燈泡B亮的既不充分又不必要條件. (4)開關A閉合.燈泡B亮,但燈泡B亮.只須開關A或B閉合.故開關A閉合是燈泡B亮的充分而不必要條件. [點悟]①解題關鍵點是正確理解充分與必要條件的含義.讀懂圖形語言.并掌握一些物理學知識特別是簡單的電學知識.進行電路圖的正確分析. ②“學以致用 已不是什么口號.重視知識的綜合.體現(xiàn)時代的特點.滲透素質教育的內含.是一種大勢所趨. ③解題易錯點是對條件的充分與必要性區(qū)分不清.不能正確地讀懂電路圖. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設不等式解集為A,B=A∪{x|1≤x≤
5
},求函數(shù)g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.

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已知離心率為
3
2
的橢圓C1的頂點A1,A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1
的左右焦點,點P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點,設直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)求橢圓C1的標準方程;
(Ⅱ)試判斷k1•k2的值是否與點P的位置有關,并證明你的結論;
(Ⅲ)當k1=
1
2
時,圓C2:x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長為
4
5
5
,求實數(shù)m的值.
設計意圖:考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識,考察學生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力.第(Ⅱ)改編自人教社選修2-1教材P39例3.

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已知離心率為的橢圓C1的頂點A1,A2恰好是雙曲線的左右焦點,點P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點,設直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)求橢圓C1的標準方程;
(Ⅱ)試判斷k1•k2的值是否與點P的位置有關,并證明你的結論;
(Ⅲ)當時,圓C2:x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長為,求實數(shù)m的值.
設計意圖:考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識,考察學生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力.第(Ⅱ)改編自人教社選修2-1教材P39例3.

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設點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點、的坐標,從而使得

;

(2)當時,若,

求證:

(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設,

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為,

,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點為,設,

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以,

故可取滿足條件.

(2)設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為,

,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;,

.

,,是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設,分別過

拋物線的準線的垂線,垂足分別為,

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則

,所以.

(說明:本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補充條件1:“點的縱坐標)滿足 ”,即:

“當時,若,且點的縱坐標)滿足,則”.此命題為真.事實上,設,

分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由,

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補充條件2:“點與點為偶數(shù),關于軸對稱”,即:

“當時,若,且點與點為偶數(shù),關于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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已知離心率為的橢圓C1的頂點A1,A2恰好是雙曲線的左右焦點,點P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點,設直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)求橢圓C1的標準方程;
(Ⅱ)試判斷k1•k2的值是否與點P的位置有關,并證明你的結論;
(Ⅲ)當時,圓C2:x2+y2-2mx=0被直線PA2截得弦長為,求實數(shù)m的值.
設計意圖:考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識,考察學生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力.第(Ⅱ)改編自人教社選修2-1教材P39例3.

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