已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上，且數(shù)列{a_n} 是a₁=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{b_n} 是公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為c_n，求最小的實數(shù)t，若使c_n≤t（t∈R，t≠0）對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，a₂與a₃之間插入2¹個3，a₃與a₄之間插入2²個3，…，依此類推），得到一個新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀．

在平面直角坐標系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0),P(x,y),M(,0)，若實數(shù)λ使向量、λ、滿足λ²·()²=·.

(1)求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當λ=時，過點A₁且斜率為1的直線與(1)中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A₁BC為正三角形.

在平面直角坐標系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0)、P(x,y)、M(,0)，若實數(shù)λ使向量、λ、滿足λ²·()²=·.

(1)求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當λ=時，過點A₁且斜率為1的直線與(1)中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A₁BC為正三角形.