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如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F(0，1)．

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的直線交拋物線C于另一點(diǎn)Q，滿足PF⊥QP，且PQ與拋物線C在點(diǎn)P處的切線垂直？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

C

A

A

B

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．     12．4       13．      14．     15．4   16．

三、解答題：（共76分，以下各題為累計(jì)得分，其他解答請(qǐng)相應(yīng)給分）

17．解：（I）

        由，得。

        又當(dāng)時(shí)，得

       （Ⅱ）當(dāng)

        即時(shí)函數(shù)遞增。

        故的單調(diào)增區(qū)間為，

18．解：（I）各取1個(gè)球的結(jié)果有（紅，紅₁）（紅，紅₂）（紅，白₁）（紅，白₂）（紅，黑）

（白，紅₂）（白，紅₂）（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（白，紅₁）（白，紅₂）

（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（黑₁，紅₁）（黑₁，紅₂）（黑₁，白₁）（黑₁，白₂）（黑₁，黑）（黑₂，紅₁）（黑₂，紅₂）（黑₂，白₁）（黑₂，白₂）（黑₂，黑）（黑₃，紅₁）

（黑₃，紅₂）（黑₃，白₁）（黑₃，白₂）（黑₃，黑）

等30種情況

其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑₃，白₂）8種情況，

故1白1黑的概率為

   （Ⅱ）2紅有2種，2白有4種，2黑有3種，

故兩球顏色相同的概率為

   （Ⅲ）1紅有1×3+2×5=13（種），2紅有2種，

故至少有1個(gè)紅球的概率為

19．解：（I）側(cè)視圖   （高4，底2）

   （Ⅱ）證明，由面ABC得AC，又由俯視圖知ABAC，，

面PAB

又AC面PAC，面PAC面PAB

   （Ⅲ）面ABC，為直線PC與底面ABC所成的角

在中，PA=4，AC=，，

20．解：（I）由題意設(shè)C的方程為由，得。

    設(shè)直線的方程為，由

    ②代入①化簡(jiǎn)整理得  

    因直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)，

    故

    即，解得又時(shí)僅交一點(diǎn)，

   （Ⅱ）設(shè)，由由（I）知

21．解：（I）   由得

于是故

切線方程為，即

   （Ⅱ）令，解得

    ①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在內(nèi)，，于是在[1，4]內(nèi)為增函數(shù)。從而

    ②當(dāng)，即，在內(nèi)，，于是在[1，4]內(nèi)為減函數(shù)，從而

    ③當(dāng)時(shí)，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，故在[1，4]上的最大值為與的較大者。

    由，得，故當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

22．解：（I）設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，于是由

        解得       

       （Ⅱ）

        由  ①

        得     ②

        ①―②得   即

        當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

        于是

        設(shè)存在正整數(shù)，使對(duì)恒成立

        當(dāng)時(shí)，，即

        當(dāng)時(shí)，

        當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

        存在正整數(shù)或8，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立。