已知函數(shù)f(x)=2n ,在x∈[0.+∞]上的最小值是an.(1)求an, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=
2n+1
2
x+
2n-1
2x
在(0，+∞)上的最小值是an（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
n
＜
1
2
；
（3）在點(diǎn)列An（2n，an）中，是否存在兩點(diǎn)Ai，Aj（i，j∈N*）使直線AiAj的斜率為1？若存在，求出所有數(shù)對(duì)（i，j），若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)f(x)=
2n+1
2
x+
2n-1
2x
在(0，+∞)上的最小值是an（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明
1
a21
+
1
a22
+…+
1
a2n
＜
1
2
；
（3）在點(diǎn)列An（2n，an）中，是否存在兩點(diǎn)Ai，Aj（i，j∈N*）使直線AiAj的斜率為1？若存在，求出所有數(shù)對(duì)（i，j），若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）若函數(shù)f（x）區(qū)間(a，a+
1
3
)(a＞0)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
2
n+1
（n∈N*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

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已知函數(shù)f(x)=
1+1nx
x
．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(a，a+
1
3
)(a＞0)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）知果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+
2
n+1
，這里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

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已知函數(shù)f(x)＝

(Ⅰ)求f(x)的極值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝1的圖象在區(qū)間(0，e2]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an+1＝lnan＋an＋2，n∈N*，求證：an≤2n－1．

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一、選擇題：1~12(5×12=60)

題號(hào)

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

B

A

B

C

D

B

C

B

C

C

D

二、填空題：13、B；14、-；15、32005；16、(2-2，2)。

三、解答題：

17.解：(1)根據(jù)已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)當(dāng)a=時(shí)由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos2()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中點(diǎn)分別為M、N，連接MN、NB1、MB1，

              ∵AC1∥MN，NB1∥CE

              ∴∠MNB1是CE與AC1成角的補(bǔ)角                                            2分

              Rt△NB1C1中，NB1=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB1中，MB1=

              ∴cos∠MNB1=-

              ∴CE與AC1的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P，則A1D在面BCC1B1上的射影為C1P，而CE⊥A1D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B為正方形

              ∴P為BC中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA1

              ∴CD⊥面ABB1A1                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A1DE

              ∴過D作DF⊥A1E于F，連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A1E

              ∴∠CFD為二面角C-A1E-D的平面角                                         10分

              又∵A1D=

              ∴A1D2+DE2=A1E2=324

              ∴∠A1DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A1E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法求解)

19.解：由已知得：

              不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3

              則有函數(shù)f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當(dāng)x=1時(shí)不恒成立

          (2)當(dāng)x≠1時(shí)，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

20.解：(1)ξ=0、1、2、3

                     P(ξ=0)=

                     P(ξ=1)=

                     P(ξ=2)=

                     P(ξ=3)=

                     ∴Eξ=1×                                            6分

(2)設(shè)甲考試合格為事件A，乙考試合格為事件B，A、B為相互獨(dú)立事件

  P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

  P(B)=

  甲、乙兩人均不合格為事件

  p()=[1-P(A)][1-P(B)]=

  ∴甲、乙兩人至少有一人合各的概率為                                                      12分

21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，則

       得(1+9a2)x2+6a2x=0

       ∴x A =-,同理BC方程是y=-

       可得xc=                                                                                                 2分

       ∴|AB|=|xA-0|?

       |BC|=|xc-0|?                                                                       4分

       ∵|AB|=|BC|

       ∴=解得a2=

       ∴橢圓方程為                                                                                 6分

       (2)設(shè)AB：y=kx+1(不妨設(shè)k>0且k≠1)代入

       整理得(1+a2k2)x2+a2kx=0

       ∴xA=-,同理xc=                                                                       8分

       ∴|AB|=，

       |BC|=

       又|AB|=|BC|

       ∴整理得

       (k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0   (k≠1)

       ∴k2+(1-a2)k+1=0                                                                                             10分

       ∴△=(1-a2)2-4≥0,解得a≥

       若△=0，則a=,此時(shí)k2+[1-()2]k+1=0

       k1=k2=1與k≠1矛盾，故a>.                                                                  12分

22.解：(1)由已知有f′(x)=2n

       令f′(x)=0

       得x=±                                                                                              2分

       ∵x∈[0,+∞],∴x=

       ∵0<x<時(shí)f′(x)<0

       X>時(shí)f′(x)>0

       ∴當(dāng)x=時(shí)，fmin(x)=an=2n

       =                                                                                                        5分

       (2)由已知Tn=cos

                            =                                                                7分

                     ∵                                                            9分

                     ∴π>

                     又y=cosx在(0,π)上是減函數(shù)

                     ∴Tn是遞增的

       ∴Tn<Tn+1(n∈N*)                                                                                            10分

       (3)不存在

         由已知點(diǎn)列An(2n,),顯然滿足y2=x2-1,(x=2n)                                     12分

              即An上的點(diǎn)在雙曲線x2-y2=1上，且在第一象限內(nèi)

              ∴任意三點(diǎn)An、Am、Ap連線的斜率KAnAm，KAnAp，KAmAp均為正值。

              ∴任意兩個(gè)量的乘積不可能等于-1

              ∴三角形AnAmAp三個(gè)內(nèi)角均無(wú)直角

              ∴不可能組成直角三角形。                                                                      14分

 


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