題目列表(包括答案和解析)
如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】(Ⅰ)因為
又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱錐的體積為.
【點評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積
如圖1,在中,,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將沿DE折起到的位置,使,如圖2.
(Ⅰ)求證:DE∥平面
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)線段上是否存在點Q,使?說明理由。
【解析】(1)∵DE∥BC,由線面平行的判定定理得出
(2)可以先證,得出,∵∴
∴
(3)Q為的中點,由上問,易知,取中點P,連接DP和QP,不難證出,∴∴,又∵∴
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
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