如圖.四棱錐P-ABCD的底面是正方形.(Ⅰ)明MF是異面直線(xiàn)AB與PC的公垂線(xiàn), 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=
2
AB，且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大�。�

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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）證明MF是異面直線(xiàn)AB與PC的公垂線(xiàn)；
（2）若PA=3AB，求直線(xiàn)AC與平面EAM所成角的正弦值．

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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E．F．M分別是線(xiàn)段PD．PC．AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MF⊥PC；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角．

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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱錐C-BEP的體積．

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD．

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一、選擇題：每小題5分，共60分.

（1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

（7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

二、填空題：每小題4分，共16分.

（13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

三、解答題：共74分.

（17）（本小題12分）

解：

     

故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是－2；

單增區(qū)間是[]，

（18）（本小題12分）

      解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4

             用AK表示“汽車(chē)通過(guò)第k個(gè)路口時(shí)不停（遇綠燈）”，

則P（AK）=獨(dú)立.

故

 

從而有分布列：

 

            0     1       2        3        4

 

    P                          

            

             （II）

             答：停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率為.

   （I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB與PC的公垂線(xiàn).

      （II）解：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過(guò)O作BE的垂線(xiàn)OH，

        垂足H在BE上.

               易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

               又OH⊥BE，故OH//DE，

               因此OH⊥面MAE.

               連結(jié)AH，則∠HAO是所要求的線(xiàn)AC與面NAE所成的角 

               設(shè)AB=a，則PA=3a， .

               因Rt△ADE~Rt△PDA，故

              

              

（20）（本小題12分）

      解：（I）

      

             因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn).

             （II）因

       

             又由（I）知

            

             代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡(jiǎn)得

       

（21）（本小題12分）

   解法一：由題意，直線(xiàn)AB不能是水平線(xiàn)，  故可設(shè)直線(xiàn)方程為：.

   又設(shè)，則其坐標(biāo)滿(mǎn)足


   

    
    

    
      由此得   
      
      因此.
      故O必在圓H的圓周上.
      又由題意圓心H（）是AB的中點(diǎn)，故
      
      由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且.
      從而當(dāng)k=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.
      此時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為：x=2p.
      解法二：由題意，直線(xiàn)AB不能是水平線(xiàn)，故可設(shè)直線(xiàn)方程為：ky=x－2p
      又設(shè)，則其坐標(biāo)滿(mǎn)足
   分別消去x，y得
      故得A、B所在圓的方程
      明顯地，O（0，0）滿(mǎn)足上面方程所表示的圓上，
      又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為
      故 
      而前面圓的方程可表示為
      故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過(guò)點(diǎn)O（0，0）.
      又，
      故當(dāng)k=0時(shí)，R2最小，從而圓的面積最小，此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為：x=2p.
      解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上
      又直徑|AB|=
      上式當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.
      此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=2p.
（22）（本小題14分）
      （I）證法一：當(dāng)不等式成立.
                 
                 綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切正整數(shù)成立.
                 證法二：當(dāng)n=1時(shí)，.結(jié)論成立.
                 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

                 當(dāng)的單增性和歸納假設(shè)有
                 
                 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.
                 因此，對(duì)一切正整數(shù)n均成立.
                 證法三：由遞推公式得 
                 
                 上述各式相加并化簡(jiǎn)得  
                 
      （II）解法一：
        

                 解法二：



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    I
                     解法三：
                             

                     故.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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