由此得
因此.
故O必在圓H的圓周上.
又由題意圓心H()是AB的中點(diǎn),故
由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且.
從而當(dāng)k=0時(shí),圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.
此時(shí),直線(xiàn)AB的方程為:x=2p.
解法二:由題意,直線(xiàn)AB不能是水平線(xiàn),故可設(shè)直線(xiàn)方程為:ky=x-2p
又設(shè),則其坐標(biāo)滿(mǎn)足
分別消去x,y得
故得A、B所在圓的方程
明顯地,O(0,0)滿(mǎn)足上面方程所表示的圓上,
又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為
故
而前面圓的方程可表示為
故|OH|為上面圓的半徑R,從而以AB為直徑的圓必過(guò)點(diǎn)O(0,0).
又,
故當(dāng)k=0時(shí),R2最小,從而圓的面積最小,此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為:x=2p.
解法三:同解法一得O必在圓H的圓周上
又直徑|AB|=
上式當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,直徑|AB|最小,從而圓面積最小.
此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=2p.
(22)(本小題14分)
(I)證法一:當(dāng)不等式成立.
綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)一切正整數(shù)成立.
證法二:當(dāng)n=1時(shí),.結(jié)論成立.
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即
當(dāng)的單增性和歸納假設(shè)有
所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.
因此,對(duì)一切正整數(shù)n均成立.
證法三:由遞推公式得
上述各式相加并化簡(jiǎn)得
(II)解法一:
解法二: