題目列表(包括答案和解析)
解:(Ⅰ)設(shè):,其半焦距為.則:.
由條件知,得.
的右準(zhǔn)線方程為,即.
的準(zhǔn)線方程為.
由條件知, 所以,故,.
從而:, :.
(Ⅱ)由題設(shè)知:,設(shè),,,.
由,得,所以.
而,由條件,得.
由(Ⅰ)得,.從而,:,即.
由,得.所以,.
故.
如圖是單位圓上的點(diǎn),分別是圓與軸的兩交點(diǎn),為正三角形.
(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值;
(2)若,四邊形的周長(zhǎng)為,試將表示成的函數(shù),并求出的最大值.
【解析】第一問(wèn)利用設(shè)
∵ A點(diǎn)坐標(biāo)為∴ ,
(2)中 由條件知 AB=1,CD=2 ,
在中,由余弦定理得
∴
∵ ∴ ,
∴ 當(dāng)時(shí),即 當(dāng) 時(shí) , y有最大值5. .
已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,是等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,,證明().
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.
由,得,,.
由條件,得方程組,解得
所以,,.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時(shí),,,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),有:
即,因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②,可知對(duì)任意,成立.
如圖,已知直線()與拋物線:和圓:都相切,是的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求與的值;
(Ⅱ)設(shè)是上的一動(dòng)點(diǎn),以為切點(diǎn)作拋物線的切線,直線交軸于點(diǎn),以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點(diǎn)在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點(diǎn)所在的定直線為, 直線與軸交點(diǎn)為,連接交拋物線于、兩點(diǎn),求△的面積的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中利用圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去)
設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,
第二問(wèn)中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn). ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.
令,得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線
第三問(wèn)中,設(shè)直線,代入得結(jié)合韋達(dá)定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓: 的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.
即,解得(舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.
代入直線方程得:,∴ 所以,. ……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn). ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.
令,得切線交軸的點(diǎn)坐標(biāo)為 所以,, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入得, ……)得, …………………………… (2分)
,
.△的面積范圍是
已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),證明:對(duì)任意,.
1.選修4-1:幾何證明選講
如圖,的角平分線的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)
(Ⅰ)證明:∽△;
(Ⅱ)若的面積,求的大小.
證明:(Ⅰ)由已知條件,可得∠BAE=∠CAD.
因?yàn)椤?i>AEB與∠ACB是同弧上的圓周角,所以∠AEB=∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(Ⅱ)因?yàn)椤?i>ABE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
則sin∠BAC=1,又∠BAC為三角形內(nèi)角,所以∠BAC=90°.
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