各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求T_n；
（3）若數(shù)列Pn=

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•(2n-1)(n∈N*)，甲同學(xué)利用第（2）問(wèn)中的T_n，試圖確定T_n-P_n的值是否可以等于20？為此，他設(shè)計(jì)了一個(gè)程序（如圖），但乙同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無(wú)法結(jié)束），你是否同意乙同學(xué)的觀點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f(x)=x²-(-1)^k·2lnx(k∈N*).

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)k是偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a₁=1，f′(a_n)=，求a_n的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)k是奇數(shù)，x＞0，n∈N*時(shí)，求證：[f′(x)]ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2).

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f （x）滿(mǎn)足，且對(duì)x，y∈（-1，1）時(shí)，有．
（I）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并證明之；
（II）令，求數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)T_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N^*，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．