題目列表(包括答案和解析)
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在點(1,
)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個實數(shù)x0,使
>g(xo)成立,求正實數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。(1)中,那么當(dāng)
時,
又
所以函數(shù)
在點(1,
)的切線方程為
;(2)中令
有
對a分類討論,和
得到極值。(3)中,設(shè)
,
,依題意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時,
又
∴ 函數(shù)在點(1,
)的切線方程為
--------4分
(Ⅱ)令 有
①
當(dāng)即
時
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
,極小值是
②
當(dāng)即
時,
在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則
的極大值為
,無極小值。
綜上所述 時,極大值為
,無極小值
時 極大值是
,極小值是
----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或
(舍去)
則正實數(shù)的取值范圍是(
,
)
已知遞增等差數(shù)列滿足:
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式
;
(2)若不等式對任意
恒成立,試猜想出實數(shù)
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為
,
由題意可知,即
,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于
,利用當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為
,由題意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
;
而,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式對任意
恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時,
,成立.
假設(shè)當(dāng)時,不等式
成立,
當(dāng)時,
,
…………10分
只要證 ,只要證
,
只要證 ,只要證
,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項公式
, …………10分
, …………12分
所以對,都有
,可知數(shù)列
為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以
恒成立,
故的最小值為
.
已知向量夾角為
,且
;則
【解析】因為,所以
,即
,所以
,整理得
,解得
或
(舍去).
某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查.瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學(xué)生共有40人,下表為該班學(xué)生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果.例如表中聽覺記憶能力為中等,且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人.
|
視覺記憶能力 |
||||
偏低 |
中等 |
偏高 |
超常 |
||
聽覺 記憶 能力 |
偏低 |
0 |
7 |
5 |
1 |
中等 |
1 |
8 |
3 |
|
|
偏高 |
2 |
|
0 |
1 |
|
超常 |
0 |
2 |
1 |
1 |
由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這40位學(xué)生中隨機抽取一個,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為.
(I)試確定、
的值;
(II)從40人中任意抽取3人,求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率;
(III)從40人中任意抽取3人,設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為,求隨機變量
的數(shù)學(xué)期望
.
【解析】1)中由表格數(shù)據(jù)可知,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10+a)人.記“視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A,則P(A)=(10+a)/40=2/5,解得a=6.……………2分
所以.b=40-(32+a)=40-38=2答:a的值為6,b的值為2.………………3分
(2)中由表格數(shù)據(jù)可知,具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人.
方法1:記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B,
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件
(3)中由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為,其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人,從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為
,………………………7分
所以從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為,k=0,1,2,3
如圖,已知直線(
)與拋物線
:
和圓
:
都相切,
是
的焦點.
(Ⅰ)求與
的值;
(Ⅱ)設(shè)是
上的一動點,以
為切點作拋物線
的切線
,直線
交
軸于點
,以
、
為鄰邊作平行四邊形
,證明:點
在一條定直線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點所在的定直線為
, 直線
與
軸交點為
,連接
交拋物線
于
、
兩點,求△
的面積
的取值范圍.
【解析】第一問中利用圓:
的圓心為
,半徑
.由題設(shè)圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去)
設(shè)與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標(biāo)為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
第三問中,設(shè)直線,代入
得
結(jié)合韋達定理得到。
解:(Ⅰ)由已知,圓:
的圓心為
,半徑
.由題設(shè)圓心到直線
的距離
.
即,解得
(
舍去). …………………(2分)
設(shè)與拋物線的相切點為
,又
,得
,
.
代入直線方程得:,∴
所以
,
.
……(2分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為
,焦點
. ………………(2分)
設(shè),由(Ⅰ)知以
為切點的切線
的方程為
.
令,得切線
交
軸的
點坐標(biāo)為
所以
,
, ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,
∴ 因為
是定點,所以點
在定直線
上.…(2分)
(Ⅲ)設(shè)直線,代入
得
, ……)得
,
…………………………… (2分)
,
.
△
的面積
范圍是
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