已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知以動點P為圓心的圓與直線y=-相切，且與圓x²+（y-）²=外切．
（Ⅰ）求動P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同兩點，且 m²+n²=1，m+n≠0，直線L是線段MN的垂直平分線．
（1）求直線L斜率k的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓E的方程為+=1（0＜a＜2）．已知直線L與拋物線C交于A、B兩個不同點，L與橢圓E交于P、Q兩個不同點，設(shè)AB中點為R，PQ中點為S，若=0，求E離心率的范圍．

已知橢圓E的方程為+=1（a＞b＞0）雙曲線-=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過橢圓E的右焦點F作直線l，使得l⊥l₂于點C，又l與l₁交于點P，l與橢圓E的兩個交點從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當(dāng)直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
（2）設(shè)，證明：λ₁+λ₂為常數(shù)．

已知兩圓的圓心在原點0，半徑分別是1和2，過點D任作一條射線0T，交小圓于點B，交大圓于點C，再過點B、c分別作y軸、x軸的垂線，兩垂線相交于點P，又A坐標(biāo)為（一1，0）．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）過點D（0，

5

3

）的直線L交軌跡E于點M、N，線段MN中點為Q，當(dāng)L⊥QA時，求直線l的方程．