已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0).
(1)求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程,并判斷軌跡E為何種圓錐曲線;
(2)當(dāng)m=-
12
時,過點(diǎn)F(1,0)的直線l交曲線E于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q(M,Q不重合) 試問:直線MQ與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn),若不是,請說明理由.
分析:(1)設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo),由AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程,然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線;
(2)把m=-
1
2
代入E得軌跡方程,由題意設(shè)出直線l的方程,和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,由兩點(diǎn)式寫出直線MQ的方程,取y=0后求出x,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求得x=2,則得到直線MQ與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn),并求出定點(diǎn).
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y),由AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),
得:
y-1
x
y+1
x
=m
,化簡得:-mx2+y2=1(x≠0).
當(dāng)m<-1時,軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn);
當(dāng)m=-1時,軌跡E表示以(0,0)為圓心,半徑是1的圓,且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn);
當(dāng)-1<m<0時,軌跡E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn);
當(dāng)m>0時,軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn).
(2)當(dāng)m=-
1
2
時,曲線E的方程為
x2
2
+y2=1 (x≠0)

由題意可知直線l的斜率存在切不等于0,則可設(shè)l:y=k(x-1),
再設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2) (x1≠x2).
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2
,
∵M(jìn),Q不重合,則x1≠x2,y1≠-y2
∴MQ所在直線方程為y-y1=
y1+y2
x1-x2
(x-x1)
,
令y=0,得x=x1+
y1(x2-x1)
y1+y2
=x1+
k(x1-1)(x2-x1)
k(x1+x2-2)
=
2x1x2-(x1+x2)
x1+x2-2

=
2•
2k2-2
1+2k2
-
4k2
1+2k2
4k2
1+2k2
-2
=2

∴直線MQ過定點(diǎn)(2,0).
點(diǎn)評:本題考查了與直線有關(guān)的動點(diǎn)軌跡方程,考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì),考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題,常采用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解,從而簡化解題過程,此類問題是高考試題中的壓軸題.
練習(xí)冊系列答案
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已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-5,0)、(5,0),邊AC、BC所在直線的斜率之積為-
12
,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

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精英家教網(wǎng)已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),△ABC的第三個頂點(diǎn)在一條雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1
(y≠0)上,則△ABC的內(nèi)心的軌跡所在圖象為( 。
A、兩條直線B、橢圓
C、雙曲線D、拋物線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1 的左、右焦點(diǎn),三個內(nèi)角A、B、C滿足sinA-sinB=
1
2
sinC,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( 。

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