設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-1，等軸雙曲線(xiàn)C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0）．
（1）求雙曲線(xiàn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，記AB中點(diǎn)為M，求k的取值范圍，并用k表示M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)Q（-1，0），求直線(xiàn)QM在y軸上截距的取值范圍．

設(shè)雙曲線(xiàn)C：的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線(xiàn)m與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。

   （Ⅰ）若直線(xiàn)m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T(mén)，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

   （Ⅱ）求直線(xiàn)A₁P與直線(xiàn)A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；

   （Ⅲ）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線(xiàn)l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（Ⅰ）中的點(diǎn)）的取值范圍。

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l的一個(gè)法向量為（m，1），當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支相交于A(yíng)，B不同的兩點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點(diǎn)M在曲線(xiàn)3（x-1）²-y²=3上．
（3）設(shè)（2）中直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請(qǐng)求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．