(11)已知橢圓=1(a>0)的一條準(zhǔn)線方程是x=4,那么此橢圓的離心率是 .(12)設(shè)地球的半徑為R.則地球北緯60°的緯線圈的周長(zhǎng)等于 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓+=1（a＞b＞0），M，N是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓上除了長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k1、k2，若k1•k2=-，則橢圓的離心率為11．
A．
B．
C．
D．

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（12分）如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，），離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2. 點(diǎn)P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2, 證明：=2；

 

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（本小題滿分20分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，過(guò)點(diǎn)A（0，－b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)E（－2，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，證明：對(duì)任意的t＞0，都存在k ，使得以線段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn). w.w.w.k

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已知橢圓=1上任意一點(diǎn)P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線段PQ上，且=2，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間），且滿足=2，求直線l的方程.

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已知橢圓=1與橢圓=1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓=1的短軸長(zhǎng)與橢圓=1的短軸長(zhǎng)相等，則(　　)

A.a2=25，b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

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一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

題號(hào)

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

A

B

A

D

D

B

C

C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）    (10)(2,－1)   (11),或   （12）    (13)（0，1），（x－1）2+(y－3)2=1

（14）10，4n－2

三、解答題（本大題共6小題,共80分.）

（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p = (sinx,cosx+sinx)，q=(2cosx,cosx－sinx),
          ∴f(x) = p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx－sinx)

                     =2sinxcosx+cos2x－sin2x………………………………………………2分

               =sin2x+cos2x……………………………………………………………4分

∴f() =…………………………………………………………………5分

又f(x) = sin2x+cos2x = ………………………………………6分

∴函數(shù)f(x)的最大值為. ……………………………………………………7分

當(dāng)且僅當(dāng)x=+k(kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2－≤2x+≤2+  (kZ) …………………………………9分

得－≤x≤+(kZ)， …………………………………………11分

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［－,+］  (k∈Z). …………12分

(16)(共14分)

解法一:

解：（Ⅰ）∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC.…………………………2分

   ∴AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影.  ……………………………………………3分

又AC⊥BC，∴BC⊥SC……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)BC⊥SC，又BC⊥AC，

∴∠SCA為所求二面角的平面角…………………………………………………………6分

又∵SB=4，BC=4，

∴SC=4.    ∵AC=2，∴∠SCA=60°…………………………………………………9分

即二面角A－BC－S的大小為60°

（Ⅲ）過(guò)A作AD⊥SC于D，連結(jié)BD，

由（Ⅱ）得BC⊥平面SAC，

又BC平面SBC，

∴平面SAC⊥平面SBC，

且平面SAC平面SBC=SC.

∴AD⊥平面SBC.

∴BD為AB在平面SBC內(nèi)的射影.

∴∠ABD為AB與平面SBC所成角.…………………………11分

在Rt△ABC中，AB=，

在Rt△SAC中，SA==2，

AD=.

∴sinABD=.……………………………………………………………………13分

所以直線AB與平面SBC所成角的大小為arcsin.…………………………………14分

解法二:

解：(Ⅰ)由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，

以C點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C － xyz.

則A(0，2，0)，B（4，0，0），C（0，0，0），S（0，2，）.……………………………2分

則=（0，－ 2，），

*=（－4，0，0）.
      ∴?=0.

∴SC⊥BC.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥平面ABC.

∴=(0，0，)是平面ABC的法

向量.…………………………………………………………………5分

設(shè)側(cè)面SBC的法向量為

n=(x，y，z)，

*=（0，－ 2，－），=（－4,0,0）.
      ∵?n=0，?n=0，

∴∴x=0.令z=1則y=，

則平面SBC的一個(gè)法向量n=(0，，1).……………………………………………7分

cos,n=       =.……………………………………………………8分

即二面角A－BC－S的大小為60°.……………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知n=(0，－，1)是平面SBC的一個(gè)法向量.……………………………10分

又=(4，－2，0)，

∴cos，n=         =.…………………………………………13分

所以直線AB與平面SBC所成角為arcsin.…………………………………………14分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）設(shè)乙闖關(guān)成功的概率為P1，丙闖關(guān)成功的概率為P2………………………1分

         因?yàn)橐冶?dú)立闖關(guān)，根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得：

………………………………………………………………………3分

解得P1=，P2=.…………………………………………………………5分

答：乙闖關(guān)成功的概率為，丙闖關(guān)成功的概率為.

（Ⅱ）團(tuán)體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過(guò)關(guān)，而另外一個(gè)沒過(guò)關(guān).

設(shè)“團(tuán)體總分為4分”為事件A，………………………………………………6分

則P（A）=（1－）.

………………………………………………………………………………………9分

答：團(tuán)體總分為4分的概率為.

（Ⅲ）團(tuán)體總分不小于4分，即團(tuán)體總分為4分或6分，

設(shè)“團(tuán)體總分不小于4分”為事件B，…………………………………………10分

由(Ⅱ)知團(tuán)體總分為4分的概率為.

團(tuán)體總分為6分，即3人都闖關(guān)成功的概率為 ………………12分

所以參加復(fù)賽的概率為P（B）=.…………………………………13分

答：該小組參加復(fù)賽的概率為.

(18)（共13分）

解：（Ⅰ）第5行第5個(gè)數(shù)是29.……………………………………………………………2分

 （Ⅱ）由f(1)=n2，得a1+a2+a3+…+an=n2.…………………………………………………3分

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴Sn=n2.……

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1,…………………………………………………………………5分

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2=2n－1.………………………………………6分

又當(dāng)n=1時(shí)，2n－1=1=a1,

∴an=2n－1. ………………………………………………………………………8分

即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n－1(n=1，2，3，…).

（Ⅲ）由(Ⅱ)知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.……………………………9分

∵前m－1行共有項(xiàng)1+2+3+…+(m－1)= ，

∴第m行的第一項(xiàng)為=2×－1=m2－m+1.………………11分

∴第m行構(gòu)成首項(xiàng)為m2－m+1，公差為2的等差數(shù)列，且有m項(xiàng).

∴Tm=（m2－m+1）×m+×2=m3.……………………………………13分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）設(shè)Q（x,y），由已知得點(diǎn)Q在FP的中垂線上，……………………………1分

 即|QP|=|QF|. ……………………………………………………………………2分

 根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)Q在以F為焦點(diǎn)，直線m為準(zhǔn)線的拋 物線上，…4分

 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=4x(x≠0). …………………………………………6分

（注：沒有寫出x≠0扣1分）

(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，－），

   ∵點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，0)，可以推出∠AFB≠…………………………………8分

    當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

    設(shè)l的方程為y=k(x－2)，它與拋物線y2=4x的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，

B(x2,y2)

由

得x1x2=4，y1y2=－8.……………………………………10分

假定θ=，則有cosθ=,

如圖，即，           （*）

由定義得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.

從而有|AF|2+|BF|2－|AB|2

=(x1+1)2+(x2+1)2－(x1－x2)2－(y1－y2)2

=－2(x1+x2)－6

∴|AF|?|BF|=（x1+1）(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5.…………………………12分

將上式代入(*)得,即x1+x2+1=0.

這與x1＞0且x2＞0相矛盾.

綜上,θ不能等于.…………………………………………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）=－3x2+2ax.………………………………………………………………1分

           據(jù)題意，=tan=1, ∴－3+2a=1，即a=2.……………………………3分

     （Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)=x3+2x24,

則f′（x）=3x2+4x.

x

1

（1,0）

0

（0，1）

1

f′（x）

7

0

+

1

f（x）

1

*4

3

…………………………………………………………………………………5分

∴對(duì)于m[1,1],f（m）的最小值為f（0）=4……………………………6分

∵f′（x）=3x2+4x的對(duì)稱軸為x=,且拋物線開口向下，

∴x[1，1]時(shí)，f′（x）最小值為f′（*1）與f′（1）中較小的.

∵f′（1）=1, f′（1）=7,

∴當(dāng)x[1，1]時(shí)，f′（x）最小值為7.

∴當(dāng)n[1，1]時(shí)，f′（n）最小值為7.……………………………………7分∴f（m）+ f′（n）的最小值為11.……………………………………………8分（Ⅲ）∵f′（x）=3x（x）.

①若a≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0, ∴f（x）在[0，+∞]上單調(diào)遞減.

又f（0）=4，則當(dāng)x＞0時(shí), f（x）＜4.

∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x0＞0，使f（x0）＞0.…………………………………11分

②若a＞0，則當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0.

從而f（x）在（0, ]上單調(diào)遞增，在[，+∞)上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)x（0，+∞）時(shí)，f（x）max=f（）=+4=4.

據(jù)題意，4＞0，即a3＞27. ∴a＞3. …………………………………14分

綜上，a的取值范圍是（3，+∞）.

 

說(shuō)明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.

 


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