如下圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪設(shè)兩條筆直的小路，已知矩形花園的長(zhǎng)AD＝5 m，寬AB＝3 m，其中一條小路定為AC，另一條小路過(guò)點(diǎn)D，問(wèn)是否在BC上存在一點(diǎn)M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長(zhǎng)．

[分析]　建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)幾何問(wèn)題為代數(shù)運(yùn)算．

如圖，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA₁⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；

(3)證明：在線段BC₁上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

．（本題滿分13分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，AD//BC//FE，ABAD，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.

（Ⅰ）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）在線段CE上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（本小題12分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD過(guò)A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．求證：AB²＝BE·CD．

欲測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河寬.（精確到0.01 m）