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考點(diǎn)一:等差.等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1. 已知數(shù)列 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式, (2)求數(shù)列解:(1)當(dāng),. 當(dāng). . (2)令當(dāng), 當(dāng) 綜上. 點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)與數(shù)列的通項(xiàng)公式之間的關(guān)系.特別要注意n＝1時(shí)情況.在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)忘記.第二問要分情況討論.體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．例2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且.. 數(shù)列是等比數(shù)列.(其中). (I)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式,(II)記. 解:(I)公差為d. 則 . 設(shè)等比數(shù)列的公比為. . (II) 作差: . 點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識(shí).第二問.求前n項(xiàng)和的解法.要抓住它的結(jié)特征.一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列之積.乘以2后變成另外的一個(gè)式子.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想. 考點(diǎn)二:求數(shù)列的通項(xiàng)與求和例3.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ------ 按照以上排列的規(guī)律.第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為解:前n-1 行共有正整數(shù)1+2+-+(n-1)個(gè).即個(gè).因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè).即為．點(diǎn)評(píng):本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式.難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng).解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力. 例4..分別包含1個(gè).5個(gè).13個(gè).25個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎 .按同樣的方式構(gòu)造圖形.設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)“福娃迎迎 .則 ,＿＿＿＿解:第1個(gè)圖個(gè)數(shù):1 第2個(gè)圖個(gè)數(shù):1+3+1 第3個(gè)圖個(gè)數(shù):1+3+5+3+1 第4個(gè)圖個(gè)數(shù):1+3+5+7+5+3+1 第5個(gè)圖個(gè)數(shù):1+3+5+7+9+7+5+3+1=. 所以.f(5)＝41 f=8.f=16 點(diǎn)評(píng):由特殊到一般.考查邏輯歸納能力.分析問題和解決問題的能力.本題的第二問是一個(gè)遞推關(guān)系式.有時(shí)候求數(shù)列的通項(xiàng)公式.可以轉(zhuǎn)化遞推公式來求解.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 考點(diǎn)三:數(shù)列與不等式的聯(lián)系例5.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為.公比滿足.又已知..成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng) (2)令.求證:對(duì)于任意.都有 (1)解:∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (2)證明:∵ . ∴ 點(diǎn)評(píng):把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想.本題中的第(2)問.采用裂項(xiàng)相消法法.求出數(shù)列之和.由n的范圍證出不等式. 例6. 在數(shù)列.中.a1=2.b1=4.且成等差數(shù)列.成等比數(shù)列() (Ⅰ)求a2.a3.a4及b2.b3.b4.由此猜測(cè).的通項(xiàng)公式.并證明你的結(jié)論, (Ⅱ)證明:．解:(Ⅰ)由條件得由此可得．猜測(cè)．用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí).由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí).結(jié)論成立.即 . 那么當(dāng)n=k+1時(shí). ．所以當(dāng)n=k+1時(shí).結(jié)論也成立．由①②.可知對(duì)一切正整數(shù)都成立． (Ⅱ)． n≥2時(shí).由(Ⅰ)知．故綜上.原不等式成立．點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等差數(shù)列.等比數(shù)列.數(shù)學(xué)歸納法.不等式等基礎(chǔ)知識(shí).考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納.總結(jié).推理.論證等能力．例7. 設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù) (Ⅰ)證明:對(duì)任意成立的充分必要條件是, (Ⅱ)設(shè).證明:; (Ⅲ)設(shè).證明: 解: (1) 必要性 : . 又 .即充分性 :設(shè) .對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)..假設(shè) 則.且 .由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立 (2) 設(shè) .當(dāng)時(shí)..結(jié)論成立當(dāng) 時(shí). ,由(1)知.所以且 (3) 設(shè) .當(dāng)時(shí)..結(jié)論成立當(dāng)時(shí).由(2)知點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列.充要條件.數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題.屬于難題.復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意.加強(qiáng)訓(xùn)練. 考點(diǎn)四:數(shù)列與函數(shù).概率等的聯(lián)系例題8.. 已知函數(shù). (Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列.前n項(xiàng)和為Sn.其中a1=3.若點(diǎn)的圖象上.求證:點(diǎn)的圖象上, 在區(qū)間內(nèi)的極值. (Ⅰ)證明:因?yàn)樗浴?x)=x2+2x, 由點(diǎn)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上, 又所以所以,又因?yàn)椤?n)=n2+2n,所以, 故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上. (Ⅱ)解:, 由得. 當(dāng)x變化時(shí),﹑的變化情況如下表: x -2 0 f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 注意到,從而 ①當(dāng),此時(shí)無極小值, ②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值, ③當(dāng)既無極大值又無極小值. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)極值.等差數(shù)列等基本知識(shí).考查分類與整合.轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.考查分析問題和解決問題的能力. 例9 .將一骰子連續(xù)拋擲三次.它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù) 列的概率為( ) A． B． C． D．解:一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè).其中為等差數(shù)列有三類:公差為1或-1的有8個(gè),(3)公差為2或-2的有4個(gè).共有18個(gè). 成等差數(shù)列的概率為.選B 點(diǎn)評(píng):本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn).題型新穎而別開生面.有采取分類討論.分類時(shí)要做到不遺漏.不重復(fù). 考點(diǎn)五:數(shù)列與程序框圖的聯(lián)系例10.根據(jù)如圖所示的程序框圖.將輸出的x.y值依次分別記為, (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式, (Ⅱ)寫出y1.y2.y3.y4.由此猜想出數(shù)列{yn}, 的一個(gè)通項(xiàng)公式y(tǒng)n.并證明你的結(jié)論; (Ⅲ)求．解:(Ⅰ)由框圖.知數(shù)列 ∴ (Ⅱ)y1=2.y2=8.y3=26.y4=80. 由此.猜想證明:由框圖.知數(shù)列{yn}中.yn+1=3yn+2 ∴ ∴ ∴數(shù)列{yn+1}是以3為首項(xiàng).3為公比的等比數(shù)列. ∴+1=3·3n-1=3n ∴=3n-1() (Ⅲ)zn= =1×+-+ =1×3+3×32+-+·3n-[1+3+-+] 記Sn=1×3+3×32+-+·3n.① 則3Sn=1×32+3×33+-+×3n+1 ② ①-②.得-2Sn=3+2·32+2·33+-+2·3n-·3n+1 =2·3n+1 =2×= ∴ 又1+3+-+=n2 ∴. 點(diǎn)評(píng):程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物.因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán).與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng).所以.這方面的內(nèi)容是命題的新方向.應(yīng)引起重視. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

（2013•溫州一模）已知q是等比數(shù){a_n}的公比，則q＜1”是“數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列”的（　�。�

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

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(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.

（文）對(duì)于數(shù)列，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為,公差為的無窮等差數(shù)列的子數(shù)列問題，為此，他取了其中第一項(xiàng)，第三項(xiàng)和第五項(xiàng).

(1) 若成等比數(shù)列,求的值；

(2) 在, 的無窮等差數(shù)列中，是否存在無窮子數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；若不存在，說明理由；

(3) 他在研究過程中猜想了一個(gè)命題：“對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)，公比為正整數(shù)()的無窮等比數(shù) 列,總可以找到一個(gè)子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是，他在數(shù)列中任取三項(xiàng)，由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論？