考點(diǎn)一:數(shù)學(xué)歸納法 [內(nèi)容解讀]數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且規(guī)范.兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是命題遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù).是論證過程的關(guān)鍵.在論證時(shí).第一步驗(yàn)算n=中的n不一定為1.根據(jù)題目的要求.有時(shí)可為2.3等.第二步證明n=k+1時(shí)命題也成立的過程中.歸納假設(shè)P(k)起著“已知條件 的作用.必須利用歸納假設(shè)P(k).恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運(yùn)算推出P(k+1).否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè).二湊結(jié)論 . 數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)必要條件.兩者缺一不可.兩步均予以證明才具備了充分性.也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性. [命題規(guī)律]數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中.與數(shù)列.函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合.難度屬中等偏難. 例1.已知數(shù)列中..． (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式, (Ⅱ)若數(shù)列中...證明:.． 解:(Ⅰ)由題設(shè): .． 所以.數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列. . 即的通項(xiàng)公式為.． (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明． (ⅰ)當(dāng)時(shí).因..所以 .結(jié)論成立． (ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí).結(jié)論成立.即. 也即． 當(dāng)時(shí). . 又. 所以 ． 也就是說.當(dāng)時(shí).結(jié)論成立． 根據(jù)知.． 點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明.與數(shù)列.不等式等結(jié)合.屬中等偏難的試題. 例2.已知數(shù)列...． 記:.． 求證:當(dāng)時(shí). (Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ) (Ⅰ)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)時(shí).因?yàn)槭欠匠痰恼?所以． ②假設(shè)當(dāng)時(shí).. 因?yàn)? . 所以．即當(dāng)時(shí).也成立． 根據(jù)①和②.可知對(duì)任何都成立． (Ⅱ)證明:由.(). 得． 因?yàn)?所以． 由及得.所以． (Ⅲ)證明:由.得 所以. 于是. 故當(dāng)時(shí).. 又因?yàn)?所以． 點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系.數(shù)學(xué)歸納法.不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.同時(shí)考查邏輯推理能力． 考點(diǎn)二:極限的求解 [內(nèi)容解讀]極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限.掌握幾個(gè)重要極限的求法.極限的四則運(yùn)算等內(nèi)容,理解函數(shù)在一點(diǎn)處的極限.并會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限．已知函數(shù)的左.右極限.會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左右極限． [命題規(guī)律]極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用.是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn).是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容.是高考的熱點(diǎn)之一.一般以選擇題.填空題或解答題的形式出現(xiàn).難度適中. 例3..則 ．1 解: 點(diǎn)評(píng):數(shù)列極限是高考熱點(diǎn)題型之一.掌握幾種類型的求解方法. 例4.已知函數(shù)f(x)= .點(diǎn)在x=0處連續(xù).則 . 解: 又 點(diǎn)在x=0處連續(xù). 所以 即 故 點(diǎn)評(píng):在點(diǎn)處的極限值等于這點(diǎn)的函數(shù)值.即.函數(shù)在處連續(xù).反映在圖像上是的圖像在點(diǎn)x=處是不間斷的. 例5.已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù).且.則( ) A．0 B．1 C． D． 解:方法一 特殊值法.由題意取. 則.可見應(yīng)選C 方法二 令.分別取和.則原式化為 所以原式=(分子.分母1的個(gè)數(shù)分別為個(gè).個(gè)) 點(diǎn)評(píng):本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則.可用特殊值探索結(jié)論.即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈活性.當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時(shí).首先化簡變形.后用法則即可.本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用. 考點(diǎn)三:導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題 [內(nèi)容解讀]1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵,2.通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),4.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,5.了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值.極小值.以及閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值,體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性,5.會(huì)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題.如生活中的最優(yōu)化問題等. [命題規(guī)律]考查導(dǎo)數(shù)的概念.切線方程.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等內(nèi)容.在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型.難度不大,考查單調(diào)性.極值.最值等問題及應(yīng)用問題.以中檔題為主.題型以解答題為主. 例6.如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是( ) 解:由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù),只有答案A滿足. 點(diǎn)評(píng):深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵. 例7.設(shè).若函數(shù).有大于零的極值點(diǎn).則(A ) A． B. C. D. 解:依題意.有有大于0的實(shí)根,數(shù)形結(jié)合令,則兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A. 點(diǎn)評(píng):畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象.利用數(shù)形結(jié)合法求解.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 例8.=上是減函數(shù).則b的取值范圍是( ) A.[-1.+∞] B. D. 解:由題意可知.在上恒成立. 即在上恒成立.由于.所以.故C為正確答案． 點(diǎn)評(píng):函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零.則函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù).反之也成立.如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零.則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù). 例9. 曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為 A．30° B．45° C．60° D．120° 解:.在點(diǎn)(1,3)處切線的斜率為:k＝3×12-2＝1.所以傾斜角為45° .選(B). 點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在某點(diǎn)處的切線的斜率問題. 例10.設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù). (Ⅰ)已知函數(shù)在處取得極值.求的值, (Ⅱ)已知不等式對(duì)任意都成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解: (1) .由于函數(shù)在時(shí)取得極值.所以 即 (2) 方法一:由題設(shè)知:對(duì)任意都成立 即對(duì)任意都成立 設(shè) , 則對(duì)任意.為單調(diào)遞增函數(shù) 所以對(duì)任意.恒成立的充分必要條件是 即 . 于是的取值范圍是 方法二:由題設(shè)知:對(duì)任意都成立 即對(duì)任意都成立 于是對(duì)任意都成立.即 于是的取值范圍是 點(diǎn)評(píng):函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值.則在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0.反過來.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值為0.則在函數(shù)這點(diǎn)處取得極值. 例11.某單位用2160萬元購得一塊空地.計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層.每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算.如果將樓房建為x(x10)層.則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少.該樓房應(yīng)建為多少層? (注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用.平均購地費(fèi)用=) 解:設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元.依題意得 則.令.即.解得 當(dāng)時(shí).,當(dāng)時(shí).. 因此.當(dāng)時(shí).取得最小值.元. 答:為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少.該樓房應(yīng)建為15層. 點(diǎn)評(píng):本題是導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.求最值問題.經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在極值處取得最值. 例12.水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化.現(xiàn)用t表示時(shí)間.以月為單位.年初為起點(diǎn).根據(jù)歷年數(shù)據(jù).某水庫的蓄水量關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為 V(t)= (Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期? (Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量. 解:(Ⅰ)①當(dāng)0＜t10時(shí).V 化簡得t2-14t+40>0, 解得t＜4.或t＞10.又0＜t10.故0＜t＜4. ②當(dāng)10＜t12時(shí).V+50＜50, 化簡得＜0, 解得10＜t＜.又10＜t12,故 10＜t12. 綜合得0<t<4,或10<t12, 故知枯水期為1月.2月..3月.4月.11月.12月共6個(gè)月. 的最大值只能在內(nèi)達(dá)到. 由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8. 當(dāng)t變化時(shí).V′的變化情況如下表: t (4,8) 8 V′(t) + 0 - V(t) 極大值 由上表.V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52. 故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù).導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí).考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力. 考點(diǎn)四:復(fù)數(shù) [內(nèi)容解讀]本章重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運(yùn)算.難點(diǎn)是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算. [命題規(guī)律]復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算是高考命題熱點(diǎn).從近幾年高考試題來看.主要考查復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算.難度不大. 例11. 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為( ) A.1 B.2 C.1或2 D.-1 解:由得,且. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查復(fù)數(shù)的概念.注意純虛數(shù)一定要使虛部不為0. 例12. 在復(fù)平面內(nèi).復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解:因所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.選(D). 點(diǎn)評(píng):本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的知識(shí).每一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng). 例13.復(fù)數(shù)等于 A.8 B.-8 C.8i D.-8i 解:由,易知D正確. 點(diǎn)評(píng):本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.掌握＝-1. 例14.若是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根.且.則 ． 解:設(shè),則方程的另一個(gè)根為,且. 由韋達(dá)定理.得: 所以 點(diǎn)評(píng):本題考查一元二次方程根的意義.共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的模等知識(shí). 例15.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+|+|z-| = 2.求|z++1|的最小值． 解:由題設(shè)知.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段AB.如圖所示.線段AB上B點(diǎn)到C點(diǎn)距離最短． ∵|BC |=1.∴|z++1|的最小值為1． 點(diǎn)評(píng):在分析問題和解決問題時(shí).要注意解析語言的意義及運(yùn)用.要掌握?qǐng)D形語言.符號(hào)語言及文字語言的互化.自覺地由“形 到“數(shù) 與由“形 變“數(shù) 地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對(duì)任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，        …………10分

，    …………12分

所以對(duì)，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

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請(qǐng)觀察以下三個(gè)式子：
①1×3=
1×2×9
6
；
②1×3+2×4=
2×3×11
6
；
③1×3+2×4+3×5=
3×4×13
6
，
歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

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（2009•奉賢區(qū)一模）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+1=
an2+34
，(n∈N*)．
（1）當(dāng){an}是常數(shù)列時(shí)，求a1的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：若a1為奇數(shù)，則對(duì)一切n≥2，an都是奇數(shù)；
（3）若對(duì)一切n∈N*，都有an+1＞an，求a1的取值范圍；
（4）以上（1）（2）（3）三個(gè)問題是從數(shù)列{an}的某一個(gè)角度去進(jìn)行研究的，請(qǐng)你類似地提出一個(gè)與數(shù)列{an}相關(guān)的數(shù)學(xué)真命題，并加以推理論證．

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（2008•南匯區(qū)一模）定義矩陣方冪運(yùn)算：設(shè)A是一個(gè)n×n的矩陣，定義
A1=A
Ak+1=Ak•A(k∈N*)
．若A=
11
01
，
求（1）A2，A3；
（2）猜測(cè)An（n∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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當(dāng)今世界進(jìn)入了計(jì)算機(jī)時(shí)代，我們知道計(jì)算機(jī)裝置有一個(gè)數(shù)據(jù)輸入口A和一運(yùn)算結(jié)果輸出口B，某同學(xué)編入下列運(yùn)算程序，將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質(zhì)：
①從A輸入1時(shí)，從B得到
1
3
；
②從A輸入整數(shù)n（n≥2）時(shí)，在B得到的結(jié)果f（n）是將前一結(jié)果f（n-1）先乘以奇數(shù)2n-3，再除以奇數(shù)2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測(cè)f（n）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求
lim
n→∞
f(1)+f(2)+…+f(n)．

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