3．由f.求導得． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數(shù)f(x)定義在(0，＋∞)上，f(1)＝0，導函數(shù)

(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(Ⅱ)討論g(x)與的大小關系；

(Ⅲ)是否存在x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜對任意成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(x∈R，a，b為實數(shù))有極值，且在x＝1處的切線與直線x－y＋1＝0平行．

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；

(3)設a＝，f(x)的導數(shù)為(x)，令g(x)＝－3，x∈(0，∞)

求證：gn(x)－xn－≥2n－2(n∈N*)

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設二次函數(shù)f(x)＝mx2＋nx＋t的圖像過原點，g(x)＝ax3＋bx－3(x＞0)，f(x)，g(x)的導函數(shù)為(x)，(x)，且(x)＝0，(－1)＝－2，f(1)＝g(1)，(1)＝(1)．

(1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；

(2)求f(x)＝f(x)－g(x)的極小值；

(3)是否存在實常數(shù)k和m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m？若存在，求出k和m的值；若不存在，說明理由．

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記函數(shù)fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的導函數(shù)為f′n(x)，已知f′3(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設函數(shù)gn(x)＝fn(x)－n2ln x，試問：是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)gn(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；
(3)若實數(shù)x0和m(m>0且m≠1)滿足＝，試比較x0與m的大小，并加以證明．

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