[例1](1)已知a,b∈R,求證: a2+b2+1>ab+a (2)設(shè)求證 證明:(1)p= a2+b2+1-ab-a = = 顯然p>0 ∴得證 (2)證法一:左邊-右邊= = = = ∴原不等式成立. 證法二:左邊>0.右邊>0. ∴原不等式成立. ◆提煉方法:比較法.作差.變形.判斷三個(gè)步驟.變形的主要手段是通分.因式分解或配方.在變形過(guò)程中.也可以利用基本不等式放縮.如證法二. [例2]已知a+b+c=0.求證:ab+bc+ca≤0. 證明法一:∵a+b+c=0. ∴(a+b+c)2＝0. 展開(kāi)得ab+bc+ca=-. ∴ab+bc+ca≤0. 法二:要證ab+bc+ca≤0. ∵a+b+c=0. 故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)2. 即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0. 亦即證［(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2］≥0． 而這是顯然的.由于以上相應(yīng)各步均可逆. ∴原不等式成立. 證法三:∵a+b+c=0.∴-c=a+b. ∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2 ＝-a2-b2-ab＝-［(a+)2+］≤0． ∴ab+bc+ca≤0. [例3]已知的三邊長(zhǎng)為且為正數(shù).求證: 證明一:分析法: 要證 只需證 ① ∵在ΔABC中, ∴①式成立,從而原不等式成立. 證明二:比較法: 證明二: 因?yàn)闉榈娜呴L(zhǎng), 所以 [例4]設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0).方程f(x)-x=0的兩根x1.x2滿(mǎn)足1＜x1＜x2＜. (1)當(dāng)x∈(0.x1)時(shí).證明x＜f(x)＜x1, (2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱(chēng).求證x0＜. 證明:(1)令F(x)=f(x)-x. ∵x1.x2是方程f(x)-x=0的根. ∴F(x)=a(x-x1)(x-x2). 當(dāng)x∈(0.x1)時(shí).由于x1＜x2. ∴(x-x1)(x-x2)＞0. 又a＞0.得F(x)=a(x-x1)(x-x2)＞0. 即x＜f(x). 又x1-f(x)=x1-［x+F(x)］=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)［1+a(x-x2)］. ∵0＜x＜x1＜x2＜.x1-x＞0. 1+a(x-x2)=1+ax-ax2＞1-ax2＞0. ∴x1-f(x)＞0.即f(x)＜x1. 綜上.可知x＜f(x)＜x1. =a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2 對(duì)稱(chēng)軸為x=x0=-=, () 法2:由題意知x0=-. ∵x1.x2是方程f(x)-x=0的根. 即x1.x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根. ∴x1+x2=-. ∴x0=-==. 又∵ax2＜1.∴x0＜=. 題目點(diǎn)評(píng):函數(shù)或數(shù)列中的不等式,是高考中的一大類(lèi)題目,應(yīng)予以特別的關(guān)注,體會(huì)方法,積累經(jīng)驗(yàn). [研討.欣賞]已知a＞1.m＞0.求證:loga(a+m)＞loga+m(a+2m). 證法1: 取對(duì)數(shù)得:lg-lg(a+m)＞0 ① 又 lga<log(a+m) 即 ② ①×②得: 即loga(a+m)＞loga+m(a+2m) (常見(jiàn)形式logn(n+1)>log(n+1) 法2:loga(a+m)-log(a+m)(a+2m) =- = ∵a＞1.m＞0. ∴l(xiāng)ga＞0.lg(a+2m)＞0.且lga≠lg(a+2m). ∴l(xiāng)ga·lg(a+2m)＜［()］2 =［］2＜［］2=lg2(a+m). ∴＞0. ∴l(xiāng)oga(a+m)＞log(a+λ)(a+2m). ✿提煉方法:1.綜合法,為什么想到用“ --感覺(jué)式子的結(jié)構(gòu)特征;2.比較法.把對(duì)數(shù)的積用均值 不等式化為對(duì)數(shù)的和是一步關(guān)鍵的決擇. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

例1、已知A={x|lg（x-1）2=0}B={y|（
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）y-3≥1，且y∈N*}，C={（x，y）|x∈A，y∈B}，D={1，2，3，4，5}，從C到D的對(duì)應(yīng)f：（x，y）→x+y，則f是否是從C到D的映射？

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例1、已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=f[f（x）]的定義域?yàn)锽，則（ ）
A．A∪B=B
B．A不屬于B
C．A=B
D．A∩B=B

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例1、已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=f[f（x）]的定義域?yàn)锽，則（ ）
A．A∪B=B
B．A不屬于B
C．A=B
D．A∩B=B

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例1．已知a，b，c∈（0，1），求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一個(gè)不大于數(shù)學(xué)公式．

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例1、已知A={x|lg（x-1）2=0}B={y|（數(shù)學(xué)公式）y-3≥1，且y∈N*}，C={（x，y）|x∈A，y∈B}，D={1，2，3，4，5}，從C到D的對(duì)應(yīng)f：（x，y）→x+y，則f是否是從C到D的映射？

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