已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ) 設(shè)如果對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

已知正項(xiàng)數(shù)列滿足(0＜a＜1)，且．

求證：．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

b

n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 設(shè)Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對(duì)任意正整數(shù)n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=m，其中0＜m＜1，函數(shù)f(x)=

x

1+2x

．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），證明{

1

an

}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

2n+1

，試證明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．