題型1:正比例.反比例和一次函數(shù)型 例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃.為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況.進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè).并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表.根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè):(1)如果不采取任何措施.那么到2010年底.該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃,(2)如果從2000年底后采取植樹造林等措施.每年改造0.6萬公頃沙漠.那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃? 觀測(cè)時(shí)間 1996年底 1997年底 1998年底 1999年底 2000年底 該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù) 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001 解析:(1)由表觀察知.沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象. 將x=1.y=0.2與x=2.y=0.4.代入y=kx+b. 求得k=0.2.b=0. 所以y=0.2x(x∈N). 因?yàn)樵猩衬娣e為95萬公頃.則到2010年底沙漠面積大約為 95+0.5×15=98. (2)設(shè)從1996年算起.第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃.由題意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90. 解得x=20(年). 故到2015年年底.該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃. 點(diǎn)評(píng):初中我們學(xué)習(xí)過的正比例.反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì).我們要牢固掌握.特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例 .“成反比例 等條件要應(yīng)用好. 例2．(已知函數(shù)在R上有定義.對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù).都有 (Ⅰ)證明, (Ⅱ)證明 其中和均為常數(shù), 證明(Ⅰ)令.則.∵.∴. (Ⅱ)①令.∵.∴.則. 假設(shè)時(shí)..則.而.∴.即成立. ②令.∵.∴. 假設(shè)時(shí)..則.而.∴.即成立.∴成立. 點(diǎn)評(píng):該題應(yīng)用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征.從而使問題得到簡化.而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏. 題型2:二次函數(shù)型 例3．一輛中型客車的營運(yùn)總利潤y與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)的變化關(guān)系如表所示.則客車的運(yùn)輸年數(shù)為()時(shí)該客車的年平均利潤最大. (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 x年 4 6 8 - 7 11 7 - 解析:表中已給出了二次函數(shù)模型 . 由表中數(shù)據(jù)知.二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn).則 . 解得a=-1.b=12.c=-25. 即. 而取“= 的條件為. 即x=5.故選(B). 點(diǎn)評(píng):一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型.解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì).解決好實(shí)際問題. 例4．行駛中的汽車.在剎車后由于慣性的作用.要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會(huì)停下.這段距離叫剎車距離.為測(cè)定某種型號(hào)汽車的剎車性能.對(duì)這種型號(hào)的汽車在國道公路上進(jìn)行測(cè)試.測(cè)試所得數(shù)據(jù)如下表.在一次由這種型號(hào)的汽車發(fā)生的交通事故中.測(cè)得剎車距離為15.13m.問汽車在剎車時(shí)的速度是多少? 剎車時(shí)車速v/km/h 15 30 40 50 60 80 剎車距離s/m 1.23 7.30 12.2 18.40 25.80 44.40 解析:所求問題就變?yōu)楦鶕?jù)上表數(shù)據(jù).建立描述v與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的問題.此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出.因此.以剎車時(shí)車速v為橫軸.以剎車距離s為縱軸建立直角坐標(biāo)系.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖.可看出應(yīng)選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù).假設(shè)變量v與s之間有如下關(guān)系式:.因?yàn)檐囁贋?時(shí).剎車距離也為0.所以二次曲線的圖象應(yīng)通過原點(diǎn)(0.0).再在散點(diǎn)圖中任意選取兩點(diǎn)A.B代入.解出a.b.c于是 .(代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的) 將s=15.13代入得 . 解得v≈45.07. 所以.汽車在剎車時(shí)的速度是45.07km/h. 例5．某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí).可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí).未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元.未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元. (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí).能租出多少輛車? (2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí).租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí).未租出的車輛數(shù)為: =12.所以這時(shí)租出了88輛車. (2)設(shè)每輛車的月租金定為x元.則租賃公司的月收益為:f(x)=(100-)(x-150)-×50.整理得:f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050.所以.當(dāng)x=4050時(shí).f(x)最大.其最大值為f=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí).租賃公司的月收益最大.最大收益為307050元. 點(diǎn)評(píng):本題貼近生活.要求考生讀懂題目.迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決. 題型3:分段函數(shù)型 例6．某集團(tuán)公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠.如下表: 一期2000年投入 1億元 興建垃圾堆肥廠 年處理有機(jī)肥十多萬噸 年綜合收益 2千萬元 二期2002年投入 4億元 興建垃圾焚燒發(fā)電一廠 年發(fā)電量1.3億kw/h 年綜合收益 4千萬元 三期2004年投入 2億元 興建垃圾焚燒發(fā)電二廠 年發(fā)電量1.3億kw/h 年綜合收益 4千萬元 如果每期的投次從第二年開始見效.且不考慮存貸款利息.設(shè)2000年以后的x年的總收益為f(x).試求f(x)的表達(dá)式.并預(yù)測(cè)到哪一年能收回全部投資款. 解析:由表中的數(shù)據(jù)知.本題需用分段函數(shù)進(jìn)行處理.由表中的數(shù)據(jù)易得. f(x)=. 顯然.當(dāng)n≤4時(shí).不能收回投資款. 當(dāng)n≥5時(shí).由f(n)=10n-24>70. 得n>9.4.取n=10. 所以到2010年可以收回全部投資款. 點(diǎn)評(píng):分段函數(shù)是根據(jù)實(shí)際問題分類討論函數(shù)的解析式.從而尋求在不同情況下實(shí)際問題的處理結(jié)果. 例7．某蔬菜基地種植西紅柿.由歷年市場(chǎng)行情得知.從二月一日起的300天內(nèi).西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2-10中(1)的一條折線表示,西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2-10中(2)的拋物線表示. 圖2-10 表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t), 寫出圖中(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t), (2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益.問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大? (注:市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位:元／102 .kg.時(shí)間單位:天) 解:可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 f(t)＝ 由圖(2)可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 g(t)＝(t-150)2+100.0≤t≤300． (2)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t).則由題意得h(t)＝f(t)-g(t). 即h(t)＝ 當(dāng)0≤t≤200時(shí).配方整理得h(t)＝-(t-50)2+100. 所以.當(dāng)t＝50時(shí).h(t)取得區(qū)間［0.200］上的最大值100, 當(dāng)200＜t≤300時(shí).配方整理得 h(t)＝-(t-350)2+100. 所以.當(dāng)t＝300時(shí).h(t)取得區(qū)間(200.300］上的最大值87.5. 綜上.由100＞87．5可知.h(t)在區(qū)間［0.300］上可以取得最大值100.此時(shí)t＝50.即從二月一日開始的第50天時(shí).上市的西紅柿純收益最大. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 題型4:三角函數(shù)型 例8．某港口水的深度y(m)是時(shí)間t的函數(shù).記作y=f(t).下面是某日水深的數(shù)據(jù): t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 經(jīng)長期觀察.y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f一般情況下.船舶航行時(shí).船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的(船舶停靠時(shí).船底只需不碰海底即可).某船吃水深度為6.5m.如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港.請(qǐng)問.它最多能在港內(nèi)停留多少時(shí)間? 解析:題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型.因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答. (1)由表中數(shù)據(jù)易得.周期T=12..b=10. 所以. (2)由題意.該船進(jìn)出港時(shí).水深應(yīng)不小于 5+6.5=11.5(m). 所以. 化為. 應(yīng)有. 解得12k+1≤t≤12k+5 (k∈Z). 在同一天內(nèi)取k=0或1. 所以1≤t≤5或13≤t≤17. 所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港.最晚在下午17時(shí)出港.在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí). 點(diǎn)評(píng):三角型函數(shù)解決實(shí)際問題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先.通過其單調(diào)性.周期性等性質(zhì)解決實(shí)際問題.特別是與物理知識(shí)中的電壓.電流.簡諧振動(dòng)等知識(shí)結(jié)合到到一塊來出題.為此我們要對(duì)這些物理模型做到深入了解. 題型5:不等式型 例9．對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)? 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.. (Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響. 解析:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3. 即兩種方案的用水量分別為19與4+3. 因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少. (II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與.類似(I)得 .(*) 于是+ 當(dāng)為定值時(shí),, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí) 將代入(*)式得 故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是. 當(dāng),故T()是增函數(shù).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量. 點(diǎn)評(píng):該題建立了函數(shù)解析式后.通過基本不等式“ 解釋了函數(shù)的最值情況.而解決了實(shí)際問題.該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷. 例10．用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥．對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的.用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多.但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后.蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f(x). (1)試規(guī)定f(0)的值.并解釋其實(shí)際意義, (2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì), (3)設(shè)f(x)=.現(xiàn)有a(a＞0)單位量的水.可以清洗一次.也 可以把水平均分成2份后清洗兩次.試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由 解:(1)f(0)=1表示沒有用水洗時(shí).蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣． (2)函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是:f(0)=1.f(1)=. 在［0.+∞)上f(x)單調(diào)遞減.且0＜f(x)≤1． (3)設(shè)僅清洗一次.殘留的農(nóng)藥量為f1＝.清洗兩次后.殘留的農(nóng)藥量為 f2＝. 則f1-f2＝． 于是.當(dāng)a＞2時(shí).f1＞f2,當(dāng)a=2時(shí).f1＝f2,當(dāng)0＜a＜2時(shí).f1＜f2． 因此.當(dāng)a＞2時(shí).清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少, 當(dāng)a=2時(shí).兩種清洗方法具有相同的效果, 當(dāng)0＜a＜2時(shí).一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少． 點(diǎn)評(píng):本題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力.以及函數(shù)概念.性質(zhì)和不等式證明的基本方法. 題型6:指數(shù).對(duì)數(shù)型函數(shù) 例11．有一個(gè)湖泊受污染.其湖水的容量為V立方米.每天流入湖的水量等于流出湖的水量.現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡.且污染物和湖水均勻混合. 用.表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)(我們稱其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)).表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù). (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí).求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù), (2)分析時(shí).湖水的污染程度如何. 解析: (1)設(shè). 因?yàn)闉槌?shù)..即. 則, (2)設(shè). = 因?yàn)?..污染越來越嚴(yán)重. 點(diǎn)評(píng):通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問題.我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別.它能幫我們解釋具體問題.譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴(yán)重 還是“污染越來越輕 例12．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè).其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次.即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞.按這種規(guī)律發(fā)展下去.經(jīng)過多少小時(shí).細(xì)胞總數(shù)可以超過個(gè)?(參考數(shù)據(jù):). 解析:現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè).先考慮經(jīng)過1.2.3.4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù). 1小時(shí)后.細(xì)胞總數(shù)為, 2小時(shí)后.細(xì)胞總數(shù)為, 3小時(shí)后.細(xì)胞總數(shù)為, 4小時(shí)后.細(xì)胞總數(shù)為, 可見.細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系為: . 由.得.兩邊取以10為底的對(duì)數(shù).得. ∴. ∵. ∴. 答:經(jīng)過46小時(shí).細(xì)胞總數(shù)超過個(gè). 點(diǎn)評(píng):對(duì)于指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí).來對(duì)事件進(jìn)行合理的解析. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=（m2+2m） xm2+m-1，當(dāng)m為何值時(shí)f（x）是：
（1）正比例函數(shù)？
（2）反比例函數(shù)？
（3）二次函數(shù)？
（4）冪函數(shù)？

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已知函數(shù)f（x）是正比例函數(shù)，函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)，且f（1）=1，g（1）=1．
（1）求f（x），g（x）；
（2）證明函數(shù)S（x）=xf（x）+g（
12
）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

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一艘輪船在航行過程中的燃料費(fèi)與它的速度的立方成正比例關(guān)系，其他與速度無關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)96元，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元，要使行駛1公里所需的費(fèi)用總和最小，這艘輪船的速度應(yīng)確定為每小時(shí)多少公里？

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（2010•鄭州三模）某種項(xiàng)目的射擊比賽，開始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，如果命中記6分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已經(jīng)在150m處，這時(shí)命中記3分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)目標(biāo)已經(jīng)在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且不再繼續(xù)射擊．已知射手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為
12
，他的命中率與其距目標(biāo)距離的平方成反比，且各次射擊是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）分別求這名射手在150m處、200m處的命中率；
（Ⅱ）求這名射手停止射擊時(shí)已擊中目標(biāo)的概率．

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已知函數(shù)f（x）=（m2-m-1）•x-5m-3，m為何值時(shí)，f（x）：
（1）是正比例函數(shù)；
（2）是反比例函數(shù)；
（3）是二次函數(shù)；
（4）是冪函數(shù)．

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