即l2=16 所以l=4(cm). 點(diǎn)評:涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主.而直棱柱中又以正方體.長方體的表面積多被考察.我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素與面積.體積之間的關(guān)系. 例2．如圖1所示.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中.已知AB=5.AD=4.AA1=3.AB⊥AD.∠A1AB=∠A1AD=. (1)求證:頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上, (2)求這個(gè)平行六面體的體積. 圖1 圖2 解析:(1)如圖2.連結(jié)A1O.則A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M.作ON⊥AD交AD于N.連結(jié)A1M.A1N.由三垂線定得得A1M⊥AB.A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN. ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N. 從而OM=ON. ∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線上. (2)∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==. 又在Rt△AOA1中.A1O2=AA12 – AO2=9-=. ∴A1O=.平行六面體的體積為. 題型2:柱體的表面積.體積綜合問題 例3．一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是.這個(gè)長方體對角線的長是( ) A．2 B．3 C．6 D． 解析:設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為a=1.b＝.c＝.則對角線l的長為l=,答案D. 點(diǎn)評:解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積.體積的幾何要素-棱長. 例4．如圖.三棱柱ABC-A1B1C1中.若E.F分別為AB.AC 的中點(diǎn).平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1.V2的兩部分.那么V1∶V2= . 解:設(shè)三棱柱的高為h.上下底的面積為S.體積為V.則V=V1+V2＝Sh. ∵E.F分別為AB.AC的中點(diǎn). ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh. ∴V1∶V2=7∶5. 點(diǎn)評:解題的關(guān)鍵是棱柱.棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系.最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可. 題型3:錐體的體積和表面積 例5．在四棱錐P-ABCD中.底面是邊長為2的菱形.∠DAB＝60.對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.PO⊥平面ABCD.PB與平面ABCD所成的角為60.求四棱錐P-ABCD的體積? 解:(1)在四棱錐P-ABCD中.由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角.∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO. 于是PO=BOtan60°=.而底面菱形的面積為2. ∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2. 點(diǎn)評:本小題重點(diǎn)考查線面垂直.面面垂直.二面角及其平面角.棱錐的體積.在能力方面主要考查空間想象能力. 例6．在三棱錐S-ABC中.∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°.且AC=BC=5.SB=5. (Ⅰ)證明:SC⊥BC, (Ⅱ)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小, (Ⅲ)求三棱錐的體積VS-ABC. 解析:(Ⅰ)證明:∵∠SAB=∠SAC=90°. ∴SA⊥AB.SA⊥AC. 又AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC. 由于∠ACB=90°.即BC⊥AC.由三垂線定理.得SC⊥BC. (Ⅱ)解:∵BC⊥AC.SC⊥BC. ∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角. 在Rt△SCB中.BC=5.SB=5.得SC==10. 在Rt△SAC中AC=5.SC=10.cosSCA=. ∴∠SCA=60°.即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°. (Ⅲ)解:在Rt△SAC中. ∵SA=. S△ABC=·AC·BC=×5×5=. ∴VS-ABC=·S△ACB·SA=. 點(diǎn)評:本題比較全面地考查了空間點(diǎn).線.面的位置關(guān)系.要求對圖形必須具備一定的洞察力.并進(jìn)行一定的邏輯推理. 題型4:錐體體積.表面積綜合問題 例7．ABCD是邊長為4的正方形.E.F分別是AB.AD的中點(diǎn).GB垂直于正方形ABCD所在的平面.且GC＝2.求點(diǎn)B到平面EFC的距離? 解:如圖.取EF的中點(diǎn)O.連接GB.GO.CD.FB構(gòu)造三棱錐B-EFG. 設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h.BD＝.EF.CO＝. . 而GC⊥平面ABCD.且GC＝2. 由.得· 點(diǎn)評:該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解.構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn).△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵.利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法.從而簡化了運(yùn)算. 例8．如圖.在四面體ABCD中.截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球球心O.且與BC.DC分別截于E.F.如果截面將四面體分成體積相等的兩部分.設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1.S2.則必有( ) A．S1<S2 B．S1>S2 C．S1=S2 D．S1.S2的大小關(guān)系不能確定 解:連OA.OB.OC.OD. 則VA-BEFD＝VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC＝VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA-BEFD＝VA-EFC. 而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑.故SABD+SABE+SBEFD＝SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共.故選C 點(diǎn)評:該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程.增加了題目處理的難度.求解棱錐的體積.表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系. 題型5:棱臺的體積.面積及其綜合問題 例9．如圖9-24.在多面體ABCD-A1B1C1D1中.上.下底面平行且均為矩形.相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等.側(cè)棱延長后相交于E.F兩點(diǎn).上.下底面矩形的長.寬分別為c.d與a.b.且a＞c.b＞d.兩底面間的距離為h. (Ⅰ)求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的大小, (Ⅱ)證明:EF∥面ABCD, (Ⅲ)在估測該多面體的體積時(shí).經(jīng)常運(yùn)用近似公式V估=S中截面·h來計(jì)算.已知它的體積公式是V=(S上底面+4S中截面+S下底面).試判斷V估與V的大小關(guān)系.并加以證明. (注:與兩個(gè)底面平行.且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面) (Ⅰ)解:過B1C1作底面ABCD的垂直平面.交底面于PQ.過B1作B1G⊥PQ.垂足為G. 如圖所示:∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∠A1B1C1=90°. ∴AB⊥PQ.AB⊥B1P. ∴∠B1PG為所求二面角的平面角.過C1作C1H⊥PQ.垂足為H.由于相對側(cè)面與底面所成二面角的大小相等.故四邊形B1PQC1為等腰梯形. ∴PG=(b-d).又B1G=h.∴tanB1PG=(b＞d). ∴∠B1PG=arctan.即所求二面角的大小為arctan. (Ⅱ)證明:∵AB.CD是矩形ABCD的一組對邊.有AB∥CD. 又CD是面ABCD與面CDEF的交線. ∴AB∥面CDEF. ∵EF是面ABFE與面CDEF的交線. ∴AB∥EF. ∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線.EF在平面ABCD外. ∴EF∥面ABCD. (Ⅲ)V估＜V. 證明:∵a＞c.b＞d. ∴V-V估= =［2cd+2ab+2(a+c)(b+d)-3(a+c)(b+d)］ =(a-c)(b-d)＞0. ∴V估＜V. 點(diǎn)評:該題背景較新穎.把求二面角的大小與證明線.面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體中.能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力.而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問題.是極具實(shí)際意義的問題.考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能. 例10．如果棱臺的兩底面積分別是S.S′.中截面的面積是S0.那么( ) A． B． C．2S0＝S+S′ D．S02＝2S′S 已知正六棱臺的上.下底面邊長分別為2和4.高為2.則其體積為( ) A．32 B．28 C．24 D．20 解析:(1)解析:設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可.答案為A, (2)正六棱臺上下底面面積分別為:S上＝6··22＝6.S下＝6··42＝24.V臺＝.答案B. 點(diǎn)評:本題考查棱臺的中截面問題.根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法 來解.此種解法在解選擇題時(shí)很普遍.如選用特殊值.特殊點(diǎn).特殊曲線.特殊圖形等等. 題型6:圓柱的體積.表面積及其綜合問題 例11．一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形.這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是( ) A． B． C． D． 解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r.高為h.則由題設(shè)知h=2πr. ∴S全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π).S側(cè)=h2=4π2r2. ∴.答案為A. 點(diǎn)評:本題考查圓柱的側(cè)面展開圖.側(cè)面積和全面積等知識. 例12．如圖9-9.一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球.水面高度恰好升高r.則= . 解析:水面高度升高r.則圓柱體積增加πR2·r.恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積.因此有πr3=πR2r.故.答案為. 點(diǎn)評:本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計(jì)算能力和分析.解決問題的能力. 題型7:圓錐的體積.表面積及綜合問題 例13．在△ABC中.AB=2.BC=1.5.∠ABC=120°.若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周.則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是( ) A．π B．π C．π D．π 若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形.其面積為.則這個(gè)圓錐的全面積是( ) A．3π B．3π C．6π D．9π 解析:(1)如圖所示.該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C-ADE與圓錐B-ADE體積之差.又∵求得AB=1. ∴.答案D. (2)∵S＝absinθ.∴a2sin60°＝. ∴a2＝4.a＝2.a=2r. ∴r＝1.S全＝2πr+πr2＝2π+π＝3π.答案A. 點(diǎn)評:通過識圖.想圖.畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志.是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向. 例14．如圖所示.OA是圓錐底面中心O到母線的垂線.OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分.則母線與軸的夾角的余弦值為( ) A． B． C． D． 解析:如圖所示.由題意知.πr2h＝πR2h. ∴r＝． 又△ABO∽△CAO. ∴.∴OA2＝r·R＝. ∴cosθ＝.答案為D. 點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查柱體.錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力. 題型8:球的體積.表面積 例15．已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半.且.求球的表面積. 解:設(shè)截面圓心為.連結(jié).設(shè)球半徑為. 則. 在中.. ∴. ∴. ∴. 點(diǎn)評: 正確應(yīng)用球的表面積公式.建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系. 例16．如圖所示.球面上有四個(gè)點(diǎn)P.A.B.C.如果PA.PB.PC兩兩互相垂直.且PA=PB=PC=a.求這個(gè)球的表面積. 解析:如圖.設(shè)過A.B.C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r.圓心為O′.球心到該圓面的距離為d. 在三棱錐P-ABC中.∵PA.PB.PC兩兩互相垂直.且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′. 由正弦定理.得 =2r,∴r=a. 又根據(jù)球的截面的性質(zhì).有OO′⊥平面ABC.而PO′⊥平面ABC. ∴P.O.O′共線.球的半徑R=.又PO′===a. ∴OO′=R - a=d=,(R-a)2=R2 – (a)2.解得R=a, ∴S球=4πR2=3πa2. 點(diǎn)評:本題也可用補(bǔ)形法求解.將P-ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體.由對稱性可知.正方體內(nèi)接于球.則球的直徑就是正方體的對角線.易得球半徑R=a,下略. 題型9:球的面積.體積綜合問題 例17．如圖.正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上.點(diǎn)在球面上.如果.則球的表面積是( ) A． B． C． D． (2)半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體.正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi).若正方體棱長為.求球的表面積和體積. 解析:(1)如圖.正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上.點(diǎn)在球面上.PO⊥底面ABCD.PO=R...所以.R=2.球的表面積是.選D. (2)作軸截面如圖所示. .. 設(shè)球半徑為. 則 ∴. ∴.. 點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式.解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素. 例18．(1)表面積為的球.其內(nèi)接正四棱柱的高是.求這個(gè)正四棱柱的表面積. (2)正四面體ABCD的棱長為a.球O是內(nèi)切球.球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球.求球O1的體積. 解:(1)設(shè)球半徑為.正四棱柱底面邊長為. 則作軸截面如圖... 又∵.∴. ∴.∴. ∴ (2)如圖.設(shè)球O半徑為R.球O1的半徑為r.E為CD中點(diǎn).球O與平面ACD.BCD切于點(diǎn)F.G.球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè) ∵ △AOF∽△AEG ∴ .得 ∵ △AO1H∽△AOF ∴ .得 ∴ 點(diǎn)評:正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心.球心到各面的距離相等. 題型10:球的經(jīng)緯度.球面距離問題 例19．(1)我國首都靠近北緯緯線.求北緯緯線的長度等于多少?(地球半徑大約為) (2)在半徑為的球面上有三點(diǎn)..求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離. 解:(1)如圖.是北緯上一點(diǎn).是它的半徑. ∴. 設(shè)是北緯的緯線長. ∵. ∴ 答:北緯緯線長約等于． (2)解:設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為⊙. 設(shè)球心為.連結(jié).則平面. ∵. ∴. 所以.球心到截面距離為． 例20．在北緯圈上有兩點(diǎn).設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長為(為地球半徑).求兩點(diǎn)間的球面距離. 解:設(shè)北緯圈的半徑為.則.設(shè)為北緯圈的圓心.. ∴.∴. ∴.∴. ∴中.. 所以.兩點(diǎn)的球面距離等于． 點(diǎn)評:要求兩點(diǎn)的球面距離.必須先求出兩點(diǎn)的直線距離.再求出這兩點(diǎn)的球心角.進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

過直線l：y=2x上一點(diǎn)P做圓M：(x-3)2+(y-2)2=
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的兩條切線l1，l2，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于直線l對稱時(shí)，則∠APB=
60°
60°
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某初級中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校預(yù)備年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號，求得間隔數(shù)k=
80050
=16，即每16人抽取一個(gè)人．在1～16中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，如果抽到的是7，則從33～48這16個(gè)數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是
 
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過直線l：y=2x上一點(diǎn)P作圓M：(x-3)2+(y-4)2=
15
的兩條切線l1，l2，A，B為切點(diǎn)，若直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，則∠APB=
60°
60°
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某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，設(shè)一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為y．
（1）列出y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）問x為何值時(shí)，y有最小值？并求出其最小值；
（3）若該公司考慮到本公司實(shí)際情況，每次購買量都不超過16噸（即x≤16），問x為何值時(shí)，y有最小值？

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（2013•江西）如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點(diǎn)．設(shè)弧
FG
的長為x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動到l2，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（　�。�

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