(一)知識(shí)梳理 1．把稱為a.b的算術(shù)平均數(shù).稱為a.b的幾何平均數(shù).因而.二元均值定理可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).如果把看作是正數(shù)a.b的等差中項(xiàng).看作是正數(shù)a.b的等比中項(xiàng).那么二元均值定理還可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng) 2．一般的數(shù)學(xué)中的定理.公式揭示了若干量之間的本質(zhì)關(guān)系.但不能定格于某一種特殊形式.因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab-b.也可以是ab≤.還可以是a+≥2b .≥2b-a等.解題時(shí)不僅要利用原來的形式.而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等.以便靈活運(yùn)用． 3．盡管二元均值定理的應(yīng)用范圍極廣.推論和相關(guān)結(jié)論也很多.但其本身終究是由不等式的意義.性質(zhì)推導(dǎo)出來的．凡是用它可以獲證的不等式.均可以直接根據(jù)不等式的意義.性質(zhì)證得．因此.在算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的應(yīng)用中.不可忽視不等式的意義.性質(zhì)等概念在處理有關(guān)不等式論證方面的根本作用． 4．二元均值不等式不但可以處理兩個(gè)正數(shù)的和與積結(jié)構(gòu)的不等式.結(jié)合不等式的性質(zhì)還可以處理兩個(gè)正數(shù)的平方和.倒數(shù)和與其它變形式的結(jié)構(gòu).由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下幾個(gè)重要結(jié)論: ① a+b≥-2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a = -b時(shí)取“= 號(hào)), ② a+b≥2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)| a | = | b |時(shí)取“= 號(hào)), ③ a+b≥-2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 0時(shí)取“= 號(hào)), ④ ≤≤≤ (a.b都是正數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立)． 5．二元均值不等式還能處理幾個(gè)正數(shù)的平方和與和結(jié)構(gòu).倒數(shù)和與和結(jié)構(gòu).根式和與和結(jié)構(gòu)及兩兩之積與和結(jié)構(gòu)等不等式問題.但在處理這些結(jié)構(gòu)型的不等式時(shí).要注意與其它依據(jù)相結(jié)合來處理.常見結(jié)構(gòu)的不等式的處理方法歸納如下: ⑴ab+bc+ca與a+b+c型 利用= a+b+c+2ab+2bc+2ca與a+b+c≥ab+bc+ ca相結(jié)合, ⑵a+b+c與a+b+c型 利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可, ⑶++與a+b+c型 只要在⑵中每個(gè)字母開方代換即可． 6．利用均值定理可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題: ⑴當(dāng)a.b都為正數(shù).且ab為定值時(shí).有a+b≥ .當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“= 號(hào).此時(shí)a+b有最小值, ⑵當(dāng)a.b都為正數(shù).且a+b為定值時(shí).有ab≤ .當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)取“= 號(hào).此時(shí)ab有最大值． 以上兩類問題可簡(jiǎn)稱為“積大和小 問題． 7．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理使用的條件.合理拆分項(xiàng)或配湊 因式是經(jīng)常用的解題技巧.而拆與湊的過程中.一要考慮定理使用的條件,二要考慮必須使和或積為定值,三要考慮等號(hào)成立的條件(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“= 號(hào)).它具有一定的靈活性和變形技巧.高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)． 8．二元均值定理具有將“和式 轉(zhuǎn)化為“積式 和將“積式 轉(zhuǎn)化為“和 式 的放縮功能.若所證不等式可變形成一邊為和.另一邊為積的形式.則可以考慮使用這一定理把問題轉(zhuǎn)化．其中“一正二定三相等 在解題中具有雙重功能.即對(duì)條件的制約作用.又有解題的導(dǎo)向作用． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

某中學(xué)舉辦“上海世博會(huì)”知識(shí)宣傳活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)的“抽卡有獎(jiǎng)游戲”特別引人注目，游戲規(guī)則是：盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)吉祥物海寶”或“世博會(huì)會(huì)徽”，要求兩人一組參加游戲，參加游戲的兩人從盒子中輪流抽取卡片，一次抽1張，抽取后不放回，直到兩人中的一人抽到“世博會(huì)會(huì)徽”卡得獎(jiǎng)才終止游戲．
（Ⅰ）游戲開始之前，一位高中生問：“盒子中有幾張‘世博會(huì)會(huì)徽’卡？”主持人說：“若從盒中任抽2張卡片不都是‘世博會(huì)會(huì)徽’卡的概率為
2528
”請(qǐng)你回答有幾張“世博會(huì)會(huì)徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，甲、乙兩人參加游戲，雙方約定甲先抽取乙后抽取，求甲獲獎(jiǎng)的概率．

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甲、乙兩人參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，假設(shè)甲、乙兩人答對(duì)每題的概率分別為
2
3
與
3
5
，且答對(duì)一題得1分，答不對(duì)得0分．
（I）甲、乙兩人各答一題，求兩人得分之和ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（II）甲、乙兩人各答兩題，每人每答一題記為一次，求這四次答題中至少有一次答對(duì)的概率．

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某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)的了解，舉行了一次消防安全知識(shí)競(jìng)賽.其中一道題是連線題，要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對(duì)一連線，規(guī)定：每連對(duì)一條得2分，連錯(cuò)一條扣1分，參賽者必須把消防工具與用途一對(duì)一全部連起來．

（Ⅰ）設(shè)三種消防工具分別為，其用途分別為，若把連線方式表示為，規(guī)定第一行的順序固定不變，請(qǐng)列出所有連線的情況；

（Ⅱ）求某參賽者得分為0分的概率．

 

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某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)的了解，舉行了一次消防安全知識(shí)競(jìng)賽.其中一道題是連線題，要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對(duì)一連線，規(guī)定：每連對(duì)一條得2分，連錯(cuò)一條扣1分，參賽者必須把消防工具與用途一對(duì)一全部連起來．
（Ⅰ）設(shè)三種消防工具分別為，其用途分別為，若把連線方式表示為，規(guī)定第一行的順序固定不變，請(qǐng)列出所有連線的情況；
（Ⅱ）求某參賽者得分為0分的概率．

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（本題滿分13分）
　　甲、乙兩人同時(shí)參加某電臺(tái)舉辦的有獎(jiǎng)知識(shí)問答。約定甲，乙兩人分別回答4個(gè)問題，答對(duì)一題得1分，不答或答錯(cuò)得0分，4個(gè)問題結(jié)束后以總分決定勝負(fù)。甲，乙回答正確的概率分別是和，且不相互影響。求：
(1) 甲回答4次，至少得1分的概率；
(2) 甲恰好以3分的優(yōu)勢(shì)取勝的概率。

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