題目列表(包括答案和解析)
在棱長為的正方體中,是線段的中點,.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中,利用,得到結(jié)論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。
第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因為,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因為,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點,所以, …………6分
因為面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
如圖,,,…,,…是曲線上的點,,,…,,…是軸正半軸上的點,且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點).
(1)寫出、和之間的等量關(guān)系,以及、和之間的等量關(guān)系;
(2)求證:();
(3)設(shè),對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用有,得到
第二問證明:①當(dāng)時,可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即有則當(dāng)時,由歸納假設(shè)及,
得
第三問
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,最大為,即
解:(1)依題意,有,,………………4分
(2)證明:①當(dāng)時,可求得,命題成立; ……………2分
②假設(shè)當(dāng)時,命題成立,即有,……………………1分
則當(dāng)時,由歸納假設(shè)及,
得.
即
解得(不合題意,舍去)
即當(dāng)時,命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,最大為,即
.……………2分
由題意,有. 所以,
|
|
π |
4 |
3
| ||
2 |
a2 |
b |
b2 |
a |
(1-x)2 |
x |
x2 |
1-x |
如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、
PC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°求EF與平面ABCD所成的角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運用,以及線面角的求解的綜合運用
第一問中,利用連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
第二問中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF.
第三問中,若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵ EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
證:連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………① 在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF.
(3)若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵ EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
設(shè)是兩個不共線的非零向量.
(1)若=,=,=,求證:A,B,D三點共線;
(2)試求實數(shù)k的值,使向量和共線. (本小題滿分13分)
【解析】第一問利用=()+()+==得到共線問題。
第二問,由向量和共線可知
存在實數(shù),使得=()
=,結(jié)合平面向量基本定理得到參數(shù)的值。
解:(1)∵=()+()+
== ……………3分
∴ ……………5分
又∵∴A,B,D三點共線 ……………7分
(2)由向量和共線可知
存在實數(shù),使得=() ……………9分
∴= ……………10分
又∵不共線
∴ ……………12分
解得
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com