[例1] 平面外有兩點(diǎn)A,B.它們與平面的距離分別為a,b.線段AB上有一點(diǎn)P.且AP:PB=m:n.則點(diǎn)P到平面的距離為 . 錯解:. 錯因:只考慮AB在平面同側(cè)的情形.忽略AB在平面兩測的情況. 正解: . [例2]與空間四邊形ABCD四個頂點(diǎn)距離相等的平面共有 個. 錯解:4個. 錯因:只分1個點(diǎn)與3個點(diǎn)在平面兩側(cè).沒有考慮2個點(diǎn)與2個點(diǎn)在平面兩側(cè). 正解:7個. [例3]一個盛滿水的三棱錐形容器.不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D.E.F.且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1.若仍用這個容器盛水.則最多可盛原來水的 A. B. C. D. 錯解:A.B.C.由過D或E作面ABC的平行面.所截體計算而得. 正解:D. 當(dāng)平面EFD處于水平位置時.容器盛水最多 最多可盛原來水得1- [例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形.側(cè)棱長等于b.一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB.AC都成450角.求這個三棱柱的側(cè)面積. 錯解:一是不給出任何證明.直接計算得結(jié)果,二是作直截面的方法不當(dāng).即“過BC作平面與AA1垂直于M ,三是由條件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線 不給出論證. 正解:過點(diǎn)B作BM⊥AA1于M.連結(jié)CM.在△ABM和△ACM中.∵AB=AC.∠MAB=∠MAC=450.MA為公共邊.∴△ABM≌△ACM.∴∠AMC=∠AMB=900.∴AA1⊥面BHC.即平面BMC為直截面.又BM=CM=ABsin450=a.∴BMC周長為2xa+a=(1+)a.且棱長為b.∴S側(cè)=(1+)ab [例5]已知CA⊥平面α.垂足為A,AB α.BD⊥AB.且BD與α成30°角,AC=BD=b.AB=a.求C.D兩點(diǎn)間的距離. 解 : 本題應(yīng)分兩種情況討論: (1)如下左圖.C.D在α同側(cè):過D作DF⊥α.垂足為F.連BF.則于是. 根據(jù)三垂線定理BD⊥AB得BF⊥AB. 在Rt△ABF中.AF= 過D作DEAC于E.則DE=AF.AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故 CD= (2)如上右圖.C.D在α兩側(cè)時:同法可求得CD= 點(diǎn) 評: 本題是通過把已知量與未知量歸結(jié)到一個直角三角形中.應(yīng)用勾股定理來求解. [例6]如圖.在棱長為1的正方體中.是側(cè)棱上的一點(diǎn).. (1)試確定.使得直線與平面所成角的正切值為, (2)在線段上是否存在一個定點(diǎn).使得對任意的.在平面上的射影垂直于. 并證明你的結(jié)論. 解:解法一(1)連AC.設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn).,連結(jié)OG.因?yàn)? PC∥平面.平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC.所以.OG＝PC＝. 又AO⊥BD,AO⊥BB1.所以AO⊥平面. 故∠AGO是AP與平面所成的角. 在Rt△AOG中.tanAGO＝.即m＝. 所以.當(dāng)m＝時.直線AP與平面所成的角的正切值為. (2)可以推測.點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)O1.因?yàn)? D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A .所以 D1O1⊥平面ACC1A1. 又AP平面ACC1A1.故 D1O1⊥AP. 那么根據(jù)三垂線定理知.D1O1在平面APD1的射影與AP垂直. 解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A.P.D.B1.D1 所以 又由知.為平面的一個法向量. 設(shè)AP與平面所成的角為.則.依題意有解得.故當(dāng)時.直線AP與平面所成的角的正切值為. (2)若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q.設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.則Q(x.1-.1)..依題意.對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價于D1Q⊥AP即Q為A1C1的中點(diǎn)時.滿足題設(shè)要求. [例7]在梯形ABCD中.∠ADC=90°.AB∥DC.AB=1.DC=2..P為平面ABCD外一點(diǎn).PAD是正三角形.且PA⊥AB. 求:(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大小, (2)D點(diǎn)到平面PBC的距離． 解: (1)設(shè)AD∩BC=E.可知PE是平面PBC和平面PAD的交線.依題設(shè)條件得PA=AD=AE.則∠EPD=90°.PD⊥PE 又PA⊥AB.DA⊥AB.故AB⊥平面PAD． ∵ DC∥AB.∴ DC⊥平面PAD． 由PE⊥PC得PE⊥PD.∠DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角．.DC=2.tan.． (2)由于PE⊥PD.PE⊥PC.故PE⊥平面PDC. 因此平面PDC⊥平面PBC. 作DH⊥PC.H是垂足.則DH是D到平面PBC的距離． 在Rt△PDC中..DC=2..． 平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan.D到平面PBC的距離為. [例8] 半徑為1的球面上有A.B.C三點(diǎn).A與B和A與C的球面距離都是.B與C的球面距離是.求過A.B.C三點(diǎn)的截面到球心O距離． 分析 : 轉(zhuǎn)化為以球心O為頂點(diǎn).△ABC為底面的三棱錐問題解決． 由題設(shè)知△OBC是邊長為1的正三角形.△AOB和△AOC是腰長為1的全等的等腰三角形． 取BC中點(diǎn)D.連AD.OD.易得BC⊥面AOD.進(jìn)而得面AOD⊥面ABC.過O作OH⊥AD于H.則OH⊥面ABC.OH的長即為 所求.在Rt中,AD=,故在Rt,OH= 點(diǎn)評: 本題若注意到H是△ABC的外心.可通過解△ABC和△AHO得OH．或利用體積法． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P，且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為_________________.

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如果平面α外有兩點(diǎn)A，B，它們到平面α的距離都是a，那么直線AB與平面α的位置關(guān)系是

[　　]
A．

平行

B．

相交

C．

平行或相交

D．

ABα

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設(shè)a、b是空間的兩條直線，它們在平面α上的射影是兩條相交直線，它們在平面β上的射影是兩條平行直線，它們在平面γ上的射影是一條直線與直線外的一個點(diǎn)，則這樣的平面γ有


  1. A.
    0個
  2. B.
    1個
  3. C.
    2個
  4. D.
    無數(shù)多個

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給出下列四個命題：①過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與這個平面平行；
②過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)個平面與已知直線平行；
③如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
④如果兩個平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行．   其中正確的是（　�。�

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給出下列四個命題：①過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與這個平面平行；
②過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)個平面與已知直線平行；
③如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
④如果兩個平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行．   其中正確的是（　�。�
A．①③B．①②C．②③D．③④

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