(文)設(shè)動點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和..且存在常數(shù).使得． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（07年江西卷文）（14分）

設(shè)動點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，，

且存在常數(shù)，使得．

（1）證明：動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；

（2）如圖，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于 兩點(diǎn)．問：是否存在，使

是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

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 （選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．（本小題為選做題，滿分10分）

如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD

切半圓于點(diǎn)D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是

OB的中點(diǎn)，求BC的長．

 

B．（本小題為選做題，滿分10分）

已知矩陣，其中，若點(diǎn)P（1,1）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)，

（1）求實(shí)數(shù)a的值；    （2）求矩陣A的特征值及特征向量.

 

C．（本小題為選做題，滿分10分）

設(shè)點(diǎn)分別是曲線和上的動點(diǎn)，求動點(diǎn)間的最小距離.

 

D．（本小題為選做題，滿分10分）

設(shè)為正數(shù)，證明：≥.

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

二、填空題

13、6          14、           15、31           16、

三、解答題

17、解：⑴由

       由 

        

       ∴函數(shù)的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是．

       ⑶，∴奇函數(shù)的圖象左移 即得到的圖象，

故函數(shù)的圖象右移后對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)．…………………12分

18、（文）解：（1），又. ∴，.

（2）至少需要3秒鐘可同時到達(dá)點(diǎn).

到達(dá)點(diǎn)的概率. 到達(dá)點(diǎn)的概率.

     故所求的概率.

（理）解：（Ⅰ）的概率分布為

1．2

1．18

1．17

．

由題設(shè)得，即的概率分布為

0

1

2

故的概率分布為

1．3

1．25

0．2

所以的數(shù)學(xué)期望．

（Ⅱ）由

∵，∴．

 

19、解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

∴  所以，所以………………………… 2分

又平面，所以平面………………………………………… 4分

（2）分別在兩底面內(nèi)作于，于，連結(jié)，易得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量為…………………………………………… 7分

設(shè)平面的法向量為

，由…………… 9分

取得  ∴…………… 11分

由題知 ∴

所以在上存在點(diǎn)，當(dāng)時是直二面角.…………… 12分

20、解：（1）由，得，兩式相減，得，∴，∵是常數(shù)，且，，故

為不為0的常數(shù)，∴是等比數(shù)列.

（2）由，且時，，得

，∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

∴，故.

（3）由已知，∴

相減得：，∴，

，遞增，∴，對均成立，∴∴，又，∴最大值為7.

21、（文）解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>

                      

             又  

             因此    

             解方程組得 

         (Ⅱ)因?yàn)?nbsp;    

             所以     

             令      

             因?yàn)?nbsp;   

                     

             所以     在（-2，0）和（1，+）上是單調(diào)遞增的；

                           在（-，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的.

         (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

            

 

（理）（1）證：令,令時

            時,.  ∴

             ∴ 即.

  （2）∵是R上的奇函數(shù)  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故討論方程在的根的個數(shù).

       即在的根的個數(shù).

       令.注意,方程根的個數(shù)即交點(diǎn)個數(shù).

        對, ,

        令, 得，

         當(dāng)時,; 當(dāng)時,.  ∴，

         當(dāng)時,；   當(dāng)時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

       ①當(dāng)即時,方程無根;

②當(dāng)即時,方程只有一個根.

③當(dāng)即時,方程有兩個根.

 （3）由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、（文）22．解：（1）在中，．

．  （小于的常數(shù)）

故動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．方程為．

（2）方法一：在中，設(shè)，，，．

假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得：，

則

由⑤得：，

，

故存在滿足題設(shè)條件．

方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得：

所以，．

則．①

由，可設(shè)，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設(shè)條件．

 

 

 

 

（理）解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，．                    

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

（3）設(shè)“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當(dāng)時，直線與半橢圓的交點(diǎn)是

，與半橢圓的交點(diǎn)是．

 的中點(diǎn)滿足  得 ．  

     ， ．

    綜上所述，當(dāng)時，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個橢圓上． 

    當(dāng)時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是．  

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．   當(dāng)時，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．

 


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