兩點．問:是否存在.使是以點為直角 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于B、C兩點，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過點F且不垂直于x軸的直線l與雙曲線分別交于點P、Q，請問：是否存在直線l，使△APQ構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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已知圓C：x2+y2=2，坐標原點為O．圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R，t≠0)．
（1）求動點Q的軌跡E的方程；
（2）當t=
2
2
時，過點S（0，-
1
3
）的動直線l交軌跡E于A，B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過T點？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

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設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1，P2兩點，已知|P1P2|＝8．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)m＞0，過點M(m，0)作方向向量為＝(1，)的直線與拋物線C相交于A，B兩點，求使∠AFB為鈍角時實數(shù)m的取值范圍；

(3)①對給定的定點M(3，0)，過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，請求出這條直線；若不存在，請說明理由．

②對M(m，0)(m＞0)，過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？(只要求寫出結(jié)論，不需用證明)

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如圖，在直角坐標系xoy中，坐標原點O（0，0），以動直線l：y=mx+n（m，n∈R）為軸翻折，使得每次翻折后點O都落在直線y=2上．
（1）求以（m，n）為坐標的點的軌跡G的方程；
（2）過點E（0，
54
）作斜率為k的直線交軌跡G于M，N兩點；（�。┊�+MN|=3時，求M，N兩點的縱坐標之和；（ⅱ）問是否存在直線，使△OMN的面積等于某一給定的正常數(shù)，說明你的理由．

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已知點P是圓O：x2+y2=3上動點，以點P為切點的切線與x軸相交于點Q，直線OP與直線x=1相交于點N，若動點M滿足：
NM
∥
OQ
，
QM
•
OQ
=0，記動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（2，0）的動直線與曲線C相交于不在坐標軸上的兩點A，B，設(shè)
AF
=λ
FB
，問在x軸上是否存在定點E，使得
OF
⊥(
EA
-λ
EB
)？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．

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一、選擇題

1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

二、填空題

13、6          14、           15、31           16、

三、解答題

17、解：⑴由

       由 

        

       ∴函數(shù)的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是．

       ⑶，∴奇函數(shù)的圖象左移 即得到的圖象，

故函數(shù)的圖象右移后對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)．…………………12分

18、（文）解：（1），又. ∴，.

（2）至少需要3秒鐘可同時到達點.

到達點的概率. 到達點的概率.

     故所求的概率.

（理）解：（Ⅰ）的概率分布為

1．2

1．18

1．17

．

由題設(shè)得，即的概率分布為

0

1

2

故的概率分布為

1．3

1．25

0．2

所以的數(shù)學(xué)期望．

（Ⅱ）由

∵，∴．

 

19、解：（1）取中點，連結(jié)，∵是的中點，是的中點.

∴  所以，所以………………………… 2分

又平面，所以平面………………………………………… 4分

（2）分別在兩底面內(nèi)作于，于，連結(jié)，易得，以為原點，為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，

設(shè)，則……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量為…………………………………………… 7分

設(shè)平面的法向量為

，由…………… 9分

取得  ∴…………… 11分

由題知 ∴

所以在上存在點，當時是直二面角.…………… 12分

20、解：（1）由，得，兩式相減，得，∴，∵是常數(shù)，且，，故

為不為0的常數(shù)，∴是等比數(shù)列.

（2）由，且時，，得

，∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，

∴，故.

（3）由已知，∴

相減得：，∴，

，遞增，∴，對均成立，∴∴，又，∴最大值為7.

21、（文）解：(Ⅰ)因為

                      

             又  

             因此    

             解方程組得 

         (Ⅱ)因為     

             所以     

             令      

             因為    

                     

             所以     在（-2，0）和（1，+）上是單調(diào)遞增的；

                           在（-，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的.

         (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

            

 

（理）（1）證：令,令時

            時,.  ∴

             ∴ 即.

  （2）∵是R上的奇函數(shù)  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故討論方程在的根的個數(shù).

       即在的根的個數(shù).

       令.注意,方程根的個數(shù)即交點個數(shù).

        對, ,

        令, 得，

         當時,; 當時,.  ∴，

         當時,；   當時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

       ①當即時,方程無根;

②當即時,方程只有一個根.

③當即時,方程有兩個根.

 （3）由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、（文）22．解：（1）在中，．

．  （小于的常數(shù)）

故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．方程為．

（2）方法一：在中，設(shè)，，，．

假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得：，

則

由⑤得：，

，

故存在滿足題設(shè)條件．

方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得：

所以，．

則．①

由，可設(shè)，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設(shè)條件．

 

 

 

 

（理）解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，．                    

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

（3）設(shè)“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是．

 的中點滿足  得 ．  

     ， ．

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上． 

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．  

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．   當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．

 


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