方程根的問題 第七講:函數(shù)(3) 授課教師:范端喜 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù),,k為非零實數(shù).

(Ⅰ)設t=k2,若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)性相同,求k的取值范圍;

(Ⅱ)是否存在正實數(shù)k,都能找到t∈[1,2],使得關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數(shù)根,且在[-5,-1]上至多有一個實數(shù)根.若存在,請求出所有k的值的集合;若不存在,請說明理由.

 

【解析】本試題考查了運用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性,并求解參數(shù)的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題,轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數(shù)學思想的運用。

 

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已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設,然后推理論證,最后退出矛盾。證明:假設三個方程中都沒有兩個相異實根,

則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0

相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.顯然不成立。

證明:假設三個方程中都沒有兩個相異實根,

則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.

相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.

∴假設不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

 

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設函數(shù)處取得極值,且曲線在點處的切線垂直于直線.

(Ⅰ) 求的值;

(Ⅱ)求曲線和直線所圍成的封閉圖形的面積;

(Ⅲ)設函數(shù),若方程有三個不相等的實根,求的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導數(shù)的運用。利用導數(shù)求解曲邊梯形的面積,以及求解函數(shù)與方程的根的問題的綜合運用。

 

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(2006•嘉定區(qū)二模)用Sm→n表示數(shù)列{an}從第m項到第n項(共n-m+1項)之和.
(1)在遞增數(shù)列{an}中,an與an+1是關(guān)于x的方程x2-4nx+4n2-1=0(n為正整數(shù))的兩個根.求{an}的通項公式并證明{an}是等差數(shù)列;
(2)對(1)中的數(shù)列{an},判斷數(shù)列S1→3,S4→6,S7→9,…,S3k-2→3k的類型;
(3)對(1)中的數(shù)列作進一步研究,提出與(2)類似的問題,你可以得到怎樣的結(jié)論,證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)敘述y=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象?
(2)畫出函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象;
(3)利用圖象回答下列問題:
①指出單調(diào)區(qū)間,以及在每一個單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)(不要求證明);
②討論方程|2x-1|=k的根的情況(只需寫出結(jié)果,不要解答過程).

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