設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點(diǎn)的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．試對(duì)橢圓寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

   （1）證明：

     …………………………1分

    設(shè)，

    即，

     ……………2分

    ，

    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分

   （2）解：∵,…………………………………………4分

    ，……………………… 6分

20．（本小題滿分12分）

解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，

                                      …………2分

又，

                           …………3分

是正項(xiàng)等比數(shù)列，

，                                               …………4分

公比，                                                                                    …………5分

數(shù)列                                  …………6分

   （2）解法一：，

由                        …………8分

，

當(dāng)，                                      …………10分

又

故存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切M的最小值為2…………12分

   （2）解法二：，

令，         …………8分

由，

函數(shù)…………10分

對(duì)于

故存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切恒成立，M的最小值為2…………12

21．解：  1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?sub>，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：

所以，即為所求。                                    ………5分

2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：

，所以

。                                   ………7分

又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A?B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，而

在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                 ………12分

22.  …1分

在上無極值點(diǎn)      ……………………………2分

當(dāng)時(shí)，令,隨x的變化情況如下表：

x

＋

0

－

遞增

極大值

遞減

從上表可以看出，當(dāng)時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn)

（2）解：當(dāng)時(shí)，在處取得極大值

此極大值也是最大值。

要使恒成立，只需

的取值范圍是     …………………………………………………8分

（3）證明：令p=1，由（2）知:

        …………………………………………………………10分

         ……………………………………………14分