7．已知函數(shù) (其中是自然對數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為.則有 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設(shè)，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當(dāng)時，，．結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值，進(jìn)而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價(jià)于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當(dāng)時，，．

當(dāng)在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價(jià)于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價(jià)于對恒成立,

∵對于任意的時, （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

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已知函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，

a，b，c為常數(shù)，若函數(shù)且

   （1）求實(shí)數(shù)b，c的值；

   （2）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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已知函數(shù), 其中且

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) （e是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a，使在[a,-a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e≈2.718)，若f(6－a2)＞f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過點(diǎn)，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時，

∴當(dāng)時，即時，是減函數(shù)

當(dāng)時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>為正三角形，則，由于為的中點(diǎn)時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點(diǎn)到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點(diǎn)處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

 

或或，或或

實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點(diǎn)在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過定點(diǎn).………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗(yàn)知時，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過的最大整數(shù)），則當(dāng)時，. ………………………………………………………14分

 

 

 


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