已知數列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

anan+2

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設bn=

1

an

，Sn表示數列{b_n}的前n項和．試問：是否存在關于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t為常數）；若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l(fā)₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

已知函數f（x）=x²+（a-2）x-alnx，其中常數a≠0．
（I）若x=3是函數y=f（x）極值點，求a的值；
（II）當a=-2時，給出兩組直線：6x+y+m=0，x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩組直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出切線方程；若不存在，請說明理由．
（III）是否存在正實數a，使得關于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實數解？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．