(Ⅱ)已知圓,直線.試證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).直線與圓恒相交.并求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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已知點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-
1
4
．
（1）求證：點(diǎn)P的軌跡在一個(gè)橢圓C上，并寫(xiě)出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交（1）中的橢圓C于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，
1
2
)，試求△MAB面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的斜率kAB；
（3）反思（2）題的解答，當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，探索（2）題的結(jié)論中直線AB的斜率kAB和OM所在直線的斜率kOM之間的關(guān)系．由此推廣到點(diǎn)M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結(jié)論成為推廣后的一個(gè)特例），試提出一個(gè)猜想或設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，嘗試研究解決．
[說(shuō)明：本小題將根據(jù)你所提出的猜想或問(wèn)題的質(zhì)量分層評(píng)分]．

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已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、F、 在直線上的射影依次為點(diǎn)、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說(shuō)明理由；

（3）連接、，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由.

 

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已知直線：x=my+1過(guò)橢圓C：的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由。

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已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：-=1寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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    2009.3

一、選擇題

（1）B  （2）A  （3）B （4）C （5）B （6）D

（7）D   （8）C  （9）C （10）B （11）A （12）C

二、填空題

  • 1,3,5

    三、解答題

    （17）解:（Ⅰ）-             ---------------------------2分

    高三年級(jí)人數(shù)為-------------------------3分

    現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為

    (人).                       --------------------------------------6分

    （Ⅱ）設(shè)“高三年級(jí)女生比男生多”為事件，高三年級(jí)女生、男生數(shù)記為.

    由（Ⅰ）知且

    則基本事件空間包含的基本事件有

    共11個(gè),     ------------------------------9分

    事件包含的基本事件有

    共5個(gè)   

                    --------------------------------------------------------------11分

    答：高三年級(jí)女生比男生多的概率為.  …………………………………………12分

    （18）解：（Ⅰ）  …………2分

    在中，由于，

                                            …………3分

    又，

                           

    又，所以，而，因此.…………6分

       （Ⅱ）由，

    由正弦定理得                                …………8分

    ，

    即，由（Ⅰ）知，所以    …………10分

    由余弦弦定理得 ，     …………11分

    ，

                                                   …………12分

    （19）（Ⅰ）證明：∵、分別為、的中點(diǎn)，∴.

         又∵平面平面

    ∴平面                                         …………4分

    （Ⅱ）∵，，∴平面.

    又∵，∴平面.

    ∵平面,∴平面平面.               …………8分

    （Ⅲ）∵平面，∴是三棱錐的高.

    在Rt△中，.

        在Rt△中，.

     ∵，是的中點(diǎn)，

    ∴,

    故.        ………………12分

    （20）解：（Ⅰ）依題意得

                                 …………2分

     解得，                                             …………4分

    .       …………6分

       （Ⅱ）由已知得，                  …………8分

                                                             ………………12分

    （21）解：（Ⅰ）

          令=0,得                        ………2分

    因?yàn)?sub>，所以可得下表：

    0

    +

    0

    -

    ㄊ

    極大

    ㄋ

                                                              ………………4分

    因此必為最大值,∴，因此，

         ，

        即，∴，

     ∴                                       ……………6分

    （Ⅱ）∵，∴等價(jià)于， ………8分

     令，則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即，                 …………10分

    解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0，1].            ………………12分

    （22）解:（Ⅰ）由得，，

    所以直線過(guò)定點(diǎn)（3，0），即.                       …………………2分

     設(shè)橢圓的方程為,

    則,解得，

    所以橢圓的方程為.                    ……………………5分

    （Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以，      ………………6分

    從而圓心到直線的距離

    所以直線與圓恒相交.                             ……………………9分

    又直線被圓截得的弦長(zhǎng)

    ，       …………12分

    由于,所以,則,

    即直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是.  …………………14分

     


    同步練習(xí)冊(cè)答案