(Ⅰ)求證: ∥平面, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)














（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直線l：y=kx+b上的n個(gè)點(diǎn)
（n∈N*，k、b均為非零常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，求證：數(shù)列{yn}也成等差數(shù)列；
（2）若點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
，求a1+a2的值；
（3）若點(diǎn)P滿足
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
，我們稱
OP
是向量
OA1
，
OA2
，…，
OAn
的線性組合，{an}是該線性組合的系數(shù)數(shù)列．當(dāng)
OP
是向量
OA1
，
OA2
，…，
OAn
的線性組合時(shí)，請參考以下線索：
①系數(shù)數(shù)列{an}需滿足怎樣的條件，點(diǎn)P會(huì)落在直線l上？
②若點(diǎn)P落在直線l上，系數(shù)數(shù)列{an}會(huì)滿足怎樣的結(jié)論？
③能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列{an}滿足的條件，確定在直線l上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)或坐標(biāo)？
試提出一個(gè)相關(guān)命題（或猜想）并開展研究，寫出你的研究過程．[本小題將根據(jù)你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過程中體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分]．

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平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，若存在不同時(shí)為o的實(shí)數(shù)k和x，使
m
=
a
+(x2-3)
b
，
n
=-k
a
+x
b
，
m
⊥
n
．
（Ⅰ）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（x）．
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的f（x），設(shè)h（x）=4f（x）-ax2在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②當(dāng)a=-1時(shí)，如果存在x0≥1，h（x0）≥1，且h（h（x0））=x0，求證：h（x0）=x0．

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（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，試證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得：
PC
=λ
PA
+(1-λ)
PB
．
（Ⅱ）如圖2，設(shè)G為△ABC的重心，PQ過G點(diǎn)且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點(diǎn)，若
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，試探究：
1
m
+
1
n
的值是否為定值，若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請說明理由．

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平面四邊形ABED中，O在線段AD上，且OA=1，OD=2，△OAB，△ODE都是正三角形．將四邊形ABED沿AD翻折后，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C位置，點(diǎn)E落在點(diǎn)F位置，且F點(diǎn)在平面ABED上的射影恰為線段OD的中點(diǎn)（即垂線段的垂足點(diǎn)），所得多面體ABEDFC，如圖所示
（1）求棱錐F-OED的體積；             
（2）證明：BC∥EF．

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（一）

【解題思路】：設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，其圖象上兩點(diǎn)為（1-x，）、B（1＋x，）因?yàn)?sub>，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)

∵　，，，

，，，………………………………(4分)

∴　當(dāng)時(shí)，∵f（x）在x≥1內(nèi)是增函數(shù)，

，．

　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

當(dāng)時(shí)，∵f（x）在x≥1內(nèi)是減函數(shù)．

同理可得或，．………………………………………(11分)

　　綜上：的解集是當(dāng)時(shí)，為

當(dāng)時(shí)，為，或．…………………………(12分)

【試題評(píng)析】：本小題主要考查最簡單三角不等式的解法等基本知識(shí)，涉及到分類討論、二次函數(shù)的對稱性、向量的數(shù)量積、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)和方法的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算能力及邏輯思維能力。

 

18．（理）【解題思路】：（1）設(shè)甲隊(duì)在第五場比賽后獲得冠軍為事件M，則第五場比賽甲隊(duì)獲勝，前四場比賽甲隊(duì)獲勝三場,

　　依題意得．……………………………(6分)

　�。�2）設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件E，則E包含第四、第五、第六、第七場獲得冠軍四種情況，且它們彼此互斥．

∴　．

………………………………………………………………(12分)

【試題評(píng)析】：考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰好k次發(fā)生的概率�？疾檫壿嬎季S能力，要求考生具有較強(qiáng)的辨別雷同信息的能力。

19．【解題思路】：解法一：（1）取PC中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MF，則MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)

           (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，   ………………………………………………………………(6分)

∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H，則FH就是點(diǎn)F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)

由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，

∴FH=.           ………………………………………………………………(12分)

       解法二：（1）取PC中點(diǎn)M，連結(jié)EM，

=+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)

       （2）以Ａ為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x、y、z

軸建立坐標(biāo)系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)

 ∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，設(shè)平面PCE的法向量為=(x, y, z)，則⊥，⊥，而=（-，0，2），

=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4

得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

 

又=（0，1，-1），

故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d=.…………(12分)

【試題評(píng)析】：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，是否利用空間向量供考生選擇�？疾榭臻g想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力   

 

（二）

17. 解：（1）   設(shè)，則 …………………1分

…………………2分

又是奇函數(shù)，所以…………………3分

=……4分

 

 

                                     ………………5分

是[-1，1]上增函數(shù)………………6分

（2）是[-1，1]上增函數(shù)，由已知得: …………7分

等價(jià)于     …………10分

解得：，所以…………12分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*二次函數(shù)在上遞減………………………12分

故時(shí)，

……………………13分

，…………………………14分

（三）

16．解： 由題意，得為銳角，，               3分

    ，                 6分

由正弦定理得 ，                                       9分

．                             12分

 

17．（本題滿分12分）

有紅藍(lán)兩粒質(zhì)地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個(gè)面是8，四個(gè)面是2，藍(lán)色骰子有三個(gè)面是7，三個(gè)面是1，兩人各取一只骰子分別隨機(jī)擲一次，所得點(diǎn)數(shù)較大者獲勝.

（1）分別求出兩只骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)的分布列及期望；

（2）求投擲藍(lán)色骰子者獲勝的概率是多少？

17．解：（1）設(shè)紅色骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)為，其分布如下：

 

 

8

2

P

<span id="r0tny"></span>
<li id="r0tny"><legend id="r0tny"><li id="r0tny"></li></legend></li>
<li id="r0tny"><legend id="r0tny"></legend></li>
    <label id="r0tny"><xmp id="r0tny">
    
     
    
      
      
    
      
    ………………2分
           ；………………………………………………4分
           設(shè)藍(lán)色骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)，其分布如下；
    7
    1
    P
    
  
    
   
    
    
    <span id="r0tny"></span>
      
     
      
      
      
      
      
      ………………6分
             ………………………………8分
      （2）∵投擲骰子點(diǎn)數(shù)較大者獲勝，∴投擲藍(lán)色骰子者若獲勝，則投擲后藍(lán)色骰子點(diǎn)數(shù)為7，
      紅色骰子點(diǎn)數(shù)為2.∴投擲藍(lán)色骰子者獲勝概率是…………12分
       
      18．（本題滿分14分）
      如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
      (Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；
      (Ⅱ)當(dāng)k＝時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小；
      (Ⅲ) 當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
      解：解法一
      (Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點(diǎn)：∴OD∥PA,又PA平面PAB,
      ∴OD∥平面PAB.                                                        
3分
      (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
      取BC中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結(jié)DF,則OF⊥平面PBC
      ∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.
      又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
      在Rt△ODF中,sin∠ODF=,
      ∴PA與平面PBC所成角為arcsin                                    
4分
      (Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影.
      ∵D是PC的中點(diǎn),若F是△PBC的重心,則B、F、D三點(diǎn)共線,直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐,∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.               
              5分
      解法二：
      ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
      以O(shè)為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)x軸,建立空間坐標(biāo)系O-xyz如圖),設(shè)AB=a,則A(a,0,0).
      B(0, a,0),C(-a,0,0).設(shè)OP=h,則P(0,0,h). 
      (Ⅰ)∵D為PC的中點(diǎn),∴又∥,
      ∴OD∥平面PAB.
      (Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量
      ∴cos.
      設(shè)PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.
      ∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.
      (Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().
      ∵OG⊥平面PBC,∴又∴,
      ∴h=,∴PA=,即k=1,反之,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐.
      ∴O為平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.
       
      （四）
      16、解：（1）設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C 
      三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)被擊中為事件D         
…… 2分
      可知，三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)不被擊中為事件  
      有            
                      
      又由已知       …… 6分
      ∴                                 

      答：三人同時(shí)對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，目標(biāo)被擊中的概率為  …… 8分
      （2）甲、乙、丙由先而后進(jìn)行射擊時(shí)最省子彈。   …… 10分
      甲、乙、丙由先而后進(jìn)行射擊時(shí)所用子彈的分布列為
      ξ
      1
      2
      3
      P
      …… 11分 
      由此可求出此時(shí)所耗子彈數(shù)量的期望為：   …… 13分
      按其它順序編排進(jìn)行射擊時(shí)，得出所耗子彈數(shù)量的期望值均高過此時(shí)，
      因此甲、乙、丙由先而后進(jìn)行射擊時(shí)最省子彈。        ……  14分
       
      17、 （可用常規(guī)方法，亦可建立坐標(biāo)系用向量解決，方法多樣，答案過程略）
      （1）、證明略 （4分）
              （2）、（4分）
              （3）、異面直線A’C與BC’所成的角為60°（4分）
       
      18、解：（1）由已知，   …… 2分
                       
             …… 4分
                
由，得
                
∴p＝       ∴                …… 6分
      （2）由（1）得，        
…… 7分
                   
2    … ①
                  
 …② ……10分
                  
②-①得，
                              
＝＝      
……14分
       
      （五）
      17、（本小題滿分12分）
      解：（Ⅰ）在△ABC中，
      ………………………………  6分
      （Ⅱ）由正弦定理,又,故
      即:  故△ABC是以角C為直角的直角三角形    
      又………………………………………………12分
      18．（本小題滿分14分）
      (Ⅰ)證明:,
      .……2分
      又,……4分
      ∴  PD⊥面ABCD………6分
      (Ⅱ)解:連結(jié)BD,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O, 
      過O作OE⊥PB于點(diǎn)E,連結(jié)AE,
      ∵PD⊥面ABCD, ∴,
      又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
      ∴AO⊥PB,
      ∵,
      ∴,從而,
      故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分
      ∵ PD⊥面ABCD,  
∴PD⊥BD,
      ∴在Rt△PDB中, ,
      又∵,    ∴,………………12分
        ∴ 
.

      故二面角A－PB－D的大小為60°. …………………14分
      （也可用向量解）
      19、（本小題滿分1４分）
      （Ⅰ）由題設(shè)得，對兩邊平方得
       
      展開整理易得 ------------------------6分
        （Ⅱ），當(dāng)且僅當(dāng)＝1時(shí)取得等號(hào). 
      欲使對任意的恒成立，等價(jià)于 
      即在上恒成立，而在上為單調(diào)函數(shù)或常函數(shù)，
      所以  
      解得
         故實(shí)數(shù)的取值范圍為 ---------------------------------14分
       
      （六）
      .w.w.k.s.5.u.c.o.m16．解： 為銳角，且     ……3分
      （Ⅰ）   …….6分
                 
………….7分
       
      （Ⅱ）=      ………. 10分
                       …………..14分
      17．（本小題滿分14分）
      證明: (Ⅰ) 在矩形ABCD中,
      ∵AP＝PB, DQ＝QC,
      ∴APCQ.

      ∴AQCP為平行四邊形.
      ∴CP∥AQ. …………3分
      ∵CP平面CEP, 
      AQ平面CEP,
      ∴AQ∥平面CEP. …………5分
      &nb		
      
	
	
      
		
      


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