已知.三數(shù)大小關(guān)系為 【查看更多】

 

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已知一個(gè)長(zhǎng)方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為1，其表面積為
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（1）將長(zhǎng)方體的體積V表示為其中一條棱長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時(shí)三棱長(zhǎng)度．

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已知，且，，，三數(shù)大小關(guān)系為 （   ）

          

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已知，且，，，三數(shù)大小關(guān)系為 （   ）

          

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已知一個(gè)長(zhǎng)方體交于一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為1，其表面積為
（1）將長(zhǎng)方體的體積V表示為其中一條棱長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時(shí)三棱長(zhǎng)度．

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已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問(wèn)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無(wú)解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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一．選擇題：DBBAC DBDBD

解析：1：由sinx>cosx得cosx－sinx＜0， 即cos2x＜0，所以：＋kπ＜2x＜＋kπ，選D.

 

2：∵復(fù)數(shù)3－i的一個(gè)輻角為－π/6，對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π/3，

所得向量對(duì)應(yīng)的輻角為－π/2，此時(shí)復(fù)數(shù)應(yīng)為純虛數(shù)，對(duì)照各選擇項(xiàng)，選（B）。

3：由又代入選擇支檢驗(yàn)被排除；又由，即被排除.故選.

4：依題意有，      ①　　               ②

由①2-②×2得，，解得。

又由，得，所以不合題意。故選A。

5：令，這兩個(gè)方程的曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是原方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).由于直線的斜率為，又所以僅當(dāng)時(shí)，兩圖象有交點(diǎn).由函數(shù)的周期性，把閉區(qū)間分成

共個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上，兩圖象都有兩個(gè)交點(diǎn)，注意到原點(diǎn)多計(jì)一次，故實(shí)際交點(diǎn)有個(gè).即原方程有63個(gè)實(shí)數(shù)解.故選.

6：連接BE、CE則四棱錐E－ABCD的體積VE-ABCD=×3×3×2=6，又整個(gè)幾何體大于部分的體積，所求幾何體的體積V求> VE-ABCD，選（D）

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  • 
   
    
    
    
    
    
    8：在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)
    的圖象和直線，它們相交于（－1，1）
    和（1，1）兩點(diǎn)，由，得或.
    9：把各選項(xiàng)分別代入條件驗(yàn)算，易知B項(xiàng)滿足條件，且的值最小，故選B。
    10：P滿足|MP|=|NP|即P是MN的中垂線上的點(diǎn)，P點(diǎn)存在即中垂線與曲線有交點(diǎn)。MN的中垂線方程為2x+y+3=0，與中垂線有交點(diǎn)的曲線才存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|，直線4x+2y-1=0與2x+y+3=0平行，故排除（A）、（C），
    又由△=0，有唯一交點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|，故選（D）。
    二．填空題：11、； 12、； 13、；14、；15、2；
    解析： 11：由題設(shè)，此人猜中某一場(chǎng)的概率為，且猜中每場(chǎng)比賽結(jié)果的事件為相互獨(dú)立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎(jiǎng)的概率為。
    12：分類求和，得
        ，故應(yīng)填．
    13：依拋物線的對(duì)稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點(diǎn)，從而可設(shè)大圓的方程為  
        由 
，消去x，得        （*）
    解出 或
        要使（*）式有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只要且只需要即
        再結(jié)合半徑，故應(yīng)填
    14.解：直線 化為直角坐標(biāo)方程是2x+y-1=0;
圓的
    圓心（１，０）到直線2x+y-1=0的距離是
    15.（略）
    三．解答題：
    16、解：（Ⅰ）由, ， 
     ．-----------------------6分
    （Ⅱ）
原式＝  
     ．-----------------------12分
     
    17、 (Ⅰ)證明：∵函數(shù)是奇函數(shù)  ∴
    ∵∴函數(shù)不是上的增函數(shù)--------------------------------2分
    又函數(shù)在上單調(diào)  ∴函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)-------------------4分
       (Ⅱ)由得----------6分
    由(Ⅰ)知函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)  ∴----------------8分
    即，--------------------------------10分
     ∴原不等式的解集為--------------------------12分
    18、解：(Ⅰ)  
    所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). …………………………4分
     (Ⅱ)
證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,
    由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f
(x3),  x2=…………………………6分
    …………………8分
    即ㄓ是鈍角三角形……………………………………..9分
    (Ⅲ)假設(shè)ㄓ為等腰三角形，則只能是
     
    即
      ①         
…………………………………………..12分
    而事實(shí)上,    ②
    由于,故(2)式等號(hào)不成立.這與式矛盾. 
    所以ㄓ不可能為等腰三角形. ……………………………….14分
    19、解：（Ⅰ）經(jīng)計(jì)算，，，．    …………….2分
    當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，
    ；  …………………………….4分                   

    當(dāng)為偶數(shù)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，
    ．…………………………….6分                            
    因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為． ………………………7分
    （Ⅱ），                             

       ……（1）
     …（2）
    （1）、（2）兩式相減，
    得     

    ．
       ．……………………………….14分
    20、（I）證明：連結(jié)OC
    …………….1分
    ……….2分
    在中，由已知可得
    而
    ……….3分
    即
    平面…………………………….5分
    （II）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ACD的法向量為則
           
             …………………….7分
     
           令得是平面ACD的一個(gè)法向量�！�.8分
           又
           點(diǎn)E到平面ACD的距離
           …………………….10分
    （III）    
；
      
      則二面角A-CD-B的余弦值為�！�.14分
    21．解
（Ⅰ）由得，                 -----------1分
    當(dāng)時(shí)，，
    此時(shí)，，   -----------2分
    ，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；      -----------3分
    當(dāng)時(shí)，，
    此時(shí)，，           
-----------4分
    ，所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)；       -----------5分
    所以直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)； 
    對(duì)任意x∈R，，
    所以       
---------------------------------------------------------------------6分
    因此直線是曲線的“上夾線”．       
----------7分
    （Ⅱ）推測(cè)：的“上夾線”的方程為       ------9分
    ①先檢驗(yàn)直線與曲線相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：設(shè)：
     ，
    令，得：（kZ）            
------10分
    當(dāng)時(shí),
    故：過(guò)曲線上的點(diǎn)(，)的切線方程為：
    y－[]= [－()]，化簡(jiǎn)得：．
    即直線與曲線相切且有無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)．    -----12分
    不妨設(shè)
    ②下面檢驗(yàn)g(x)F(x)
    g(x)－F(x)= 
    直線是曲線的“上夾線”．          
-----14分
    		
    
	
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊(cè)答案