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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列 的前項(xiàng)和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸，點(diǎn)在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)�。ⅲ剑ⅲ�

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

18．解：（Ⅰ）設(shè)袋中有黑球n個(gè)，則每次取出的一個(gè)球是黑球的概率為，       3分

設(shè)“連續(xù)取兩次，都是黑球”為事件A，∴，????????????????????????????? 5分

∴，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個(gè)球，取到紅球的概率是．????????????????????????????? 7分

設(shè)“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

 

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等邊三角形，設(shè)O是AA1的中點(diǎn)，連接BO，則BO⊥AA1．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面積為，知C到AA1的距離為，，∴△AA1C1是等邊三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，

則即

令，則．設(shè)A1到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個(gè)法向量是，又平面ACC1的一個(gè)法向量．∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C1的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

20．解：（Ⅰ）證明：時(shí)，，；????????????????????????????????????????????????? 1分

時(shí)，，所以，????????????????????????????????????????? 2分

即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2 的等差數(shù)列．????????????????????????????????????????????? 3分

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．?????????????????????????????? 5分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．??????????????????????????????????????????????? 7分

當(dāng)時(shí)，????????????????????? 8分

＝

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：．?????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數(shù)得，，，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

∴，，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數(shù)有極大值，，極小值．?????????????????? 4分

∵函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

∴或或???????????????????????????????????????????? 5分

解得或或．

故實(shí)數(shù)．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，有如下兩種情況：

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即???????????????????????????????????????? 7分

而，函數(shù)的值域?yàn)?sub>，

∴解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與y軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即而有意義，???????? 9分

∴即解得．????????????????????????????????????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實(shí)數(shù)p的取值范圍是．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設(shè)，，，，

，，，，

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．??????????????????????????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)，

，

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴，

由，???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．???????????????????????????????????????? 11分

（或）．

設(shè)，則，，，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，又，，?????????????????????????????? 13分

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

 

 

 


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