題目列表(包括答案和解析)
橢圓的離心率為
,橢圓的上頂點到左焦點的距離為
,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+t(t>0)與以F1F2為直徑的圓相切,并與橢圓C交于A,B兩點,向量在向量
方向上的投影是p,且(
·
)p2=m(O為坐標原點),求m與k的關系式;
(3)在(2)的情形下,當時,求△ABO面積的取值范圍.
已知橢圓的離心率為
,直線
:
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的左焦點為
,右焦點
,直線
過點
且垂直于橢圓的長軸,動直線
垂
直于點
,線段
垂直平分線交
于點
,求點
的軌跡
的方程;
(3)當P不在軸上時,在曲線
上是否存在兩個不同點C、D關于
對稱,若存在,
求出的斜率范圍,若不存在,說明理由。
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(4分)
(Ⅱ)若過點(2,0)的直線與橢圓
相交于兩點
,設
為橢圓上一點,且滿足
(
為坐標原點),當
<
時,求實數(shù)
的取值范圍.(8分)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計70分.
1.
2.
3.
4.25
5.
6.
7.
8.③
9.6
10.50%(填0.5,
都算對)
11.
12.<
13.12
14.
或
二、解答題:本大題共6小題,計90分.
15.解:(Ⅰ)當時,點P共有28個,而滿足
的點P有19個,
從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)當時,由
構成的矩形的面積為
,而滿足
的區(qū)域的面積為,故所求的概率為
……………………………………(14分)
16.證:(Ⅰ)連接交
于
,連接
.
∵分別是
的中點,∴
∥
且
=
,∴四邊形
是矩形.
∴是
的中點………………………………………………………………………………(3分)
又∵是
的中點,∴
∥
……………………………………………………………(5分)
則由,
,得
∥
………………………………………(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱中,
⊥底面
,∴
⊥
.
又∵,即
⊥
,∴
⊥面
………………………(9分)
而面
,∴
⊥
……………………………………………………………(12分)
又,∴
平面
……………………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)由,得
,所以
………………………………………………(4分)
則,所以
……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)方案一:選擇①③.
∵A=30°,a=1,+1)b=0,所以
,則根據(jù)余弦定理,
得,解得b=
,則c=
…………………(11分)
∴…………………………………(14分)
方案二:選擇②③. 可轉(zhuǎn)化為選擇①③解決,類似給分.
(注:選擇①②不能確定三角形)
18. 解:(Ⅰ),即
,
,準線
,
……………………………………………………(2分)
設⊙C的方程為,將O、F、A三點坐標代入得:
,解得
………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)
(Ⅱ)設點B坐標為,則
,整理得:
對任意實數(shù)
都成立……………………………………………(7分)
∴,解得
或
,
故當變化時,⊙C經(jīng)過除原點O外的另外一個定點B
……………………………(10分)
(Ⅲ)由B、
、
得
,
∴,解得
……………………………………………(12分)
又 ,∴
………………………………………………………………(14分)
又橢圓的離心率(
)……………………(15分)
∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)
19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數(shù),
總成立,
令,得
,則
…………………………………………(1分)
令,得
(1) , 從而
(2),
(2)-(1)得,
…………………………………………………………………(3分)
綜上得,所以數(shù)列
是等比數(shù)列…………………………………………(4分)
(Ⅱ)正整數(shù)成等差數(shù)列,則
,所以
,
則……………………………………………………(7分)
①當時,
………………………………………………………………(8分)
②當時,
…………………………(9分)
③當時,
……………………(10分)
(Ⅲ)正整數(shù)成等比數(shù)列,則
,則
,
所以,
……………(13分)
①當,即
時,
……………………………………………(14分)
②當,即
時,
………………………………(15分)
③當,即
時,
………………………………(16分)
20. 解:
(Ⅰ)當時,
.
因為當時,
,
,
且,
所以當時,
,且
……………………………………(3分)
由于,所以
,又
,
故所求切線方程為,
即…………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因為,所以
,則
當時,因為
,
,
所以由,解得
,
從而當時,
……………………………………………(6分)
①
當時,因為
,
,
所以由,解得
,
從而當時,
…………………………………………(7分)
③當時,因為
,
從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
綜上得,當且僅當時,
,
故 …………………………………………(9分)
從而當時,
取得最大值為
…………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當時,
”等價于“
對
恒成立”,
即“(*)對
恒成立” ……………………………………(11分)
①
當時,
,則當
時,
,則(*)可化為
,即
,而當
時,
,
所以,從而
適合題意………………………………………………………………(12分)
②
當時,
.
⑴
當時,(*)可化為
,即
,而
,
所以,此時要求
…………………………………………………………(13分)
⑵
當時,(*)可化為
,
所以,此時只要求
………………………………………………………(14分)
(3)當時,(*)可化為
,即
,而
,
所以,此時要求
…………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的存在,且
的取值范圍是
………………………………(16分)
數(shù)學附加題部分
21.A.解:因為PA與圓相切于點A,所以.而M為PA的中點,
所以PM=MA,則.
又,所以
,所以
……………………(5分)
在中,由
,
即,所以
,
從而……………………………………………………………………………(10分)
B.解:,所以
=
……………………………(5分)
即在矩陣的變換下有如下過程,
,
則,即曲線
在矩陣
的變換下的解析式為
……(10分)
C.解:由題設知,圓心,故所求切線的直角坐標方程
為……………………………………………………………………………(6分)
從而所求切線的極坐標方程為………………………………(10分)
D.證:因為,利用柯西不等式,得
…………………………(8分)
即………………………………………………………………………(10分)
22.解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),P(0,0,1),
所以,
……………………………(4分)
故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)
(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,
則存在實數(shù)m、n,使得,
即
因為,所以
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