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題目列表(包括答案和解析)

（本題12分）已知向量

    （1）求cos ()的值；

    （2）若0＜＜，＜＜0，且sin=，求sin．

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（本題12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，a2 = 3，a5 = 6，數(shù)列的前n項和是Tn，且Tn +．

（1）求數(shù)列的通項公式與前n項的和Mn；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）記cn =，求的前n項和Sn．

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（本題12分）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1。（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（本題12分）設函數(shù)的定義域為A，集合，

（1）求；  （2）若，求的取值范圍。

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（本題12分）某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品A、B，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調查，有關數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品A（件）

產(chǎn)品B（件）

研制成本、搭載費用之和（萬元）

20

30

計劃最大資金額300萬元

產(chǎn)品重量（千克）

10

5

最大搭載重量110千克

預計收益（萬元）

80

60

如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載，才能使總預計收益達到最大，最大收益是多少？

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一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

B

B

A

C

B

C

二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.

9.  35         10.            11.           12. 

13.  或         14.   10          15.

三、解答題：共80分.

16題（本題滿分13分）

解：（1）要使f(x)有意義，必須，即

得f(x)的定義域為………………………………４分

　（２）因在上，

　　　　當時取得最大值………………………………………５分

　　　　當時，，得f(x)的遞減區(qū)間為

，遞增區(qū)間為……９分

　（３）因f(x)的定義域為，關于原點不對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù).　……………………………………………………………………１３分

17題（本題滿分13分）

解：（1）當且僅當時，方程組有唯一解.因的可能情況為三種情況………………………………3分

        而先后兩次投擲骰子的總事件數(shù)是36種，所以方程組有唯一解的概率

        ……………………………………………………………………6分

     

 

 

（2）因為方程組只有正數(shù)解，所以兩直線的交點在第一象限，由它們的圖像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數(shù)解的概率………………………………………………………………………13分

18題（本題滿分14分）

解：（1）因，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直線AE與平面CDE所成的角為450………………………………4分（2）解法一：如圖，取AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系A―xyz.

則 ………5分

設，  

得…………9分

 

 

 

由，得，而是平面CDE的一個法向量，且平面CDE，

所以MN//平面CDE…………………………………………………………………………14分

解法二：設在翻轉過程中，點M到平面CDE的距離為，點N到平面CDE的距離為，則，同理

所以，故MN//平面CDE……………………………………………………………14分

解法三：如圖，過M作MQ//AD交ED于點Q，

過N作NP//AD交CD于點P，

連接MN和PQ…………………………………5分

 

 

 

 

 

 

設ㄓADE向上翻折的時間為t，則，………………7分

因，點D是CE的中點，得，四邊形ABCD為正方形，ㄓADE為等腰三角形. ……………………10分

在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP，

所以MQ//NP且MQ=NP，的四邊形MNPQ為平行四邊形，所以MN//PQ，因平面CDE，

平面CDE，所以MN//平面CDE……………………………………………………14分

19題（本題滿分14分）

解：（1）由已知得，解得：……………………2分

所求橢圓方程為………………………………………………4分

（2）因，得……………………………………7分

（3）因點即A（3，0），設直線PQ方程為………………8分

則由方程組，消去y得：

設點則……………………10分

因，得，

又，代入上式得

，故

解得：，所求直線PQ方程為……………………14分

20題（本題滿分14分）

解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為，…………2分

①當時，>0，f(x)在上遞增.………………………………4分

②當時，令得解得：

，因（舍去），故在上<0，f(x)遞減；在上，>0，f(x)遞增.…………8分

（2）由（1）知在內遞減，在內遞增.

……………………………………11分

故，又因

故，得………………14分

21題（本題滿分12分）

解：（1）

解法一：由，可得

………………………………2分

所以是首項為0，公差為1的等差數(shù)列.

所以即……………………4分

解法二：因且得

，

，

，

…………………………………………………………

由此可猜想數(shù)列的通項公式為：…………2分

以下用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，，等式成立；

②假設當n=k時，有成立，那么當n=k+1時，

     成立

所以，對于任意，都有成立……………………4分

（2）解：設……①

……②

當時，①②得

…………6分

這時數(shù)列的前n項和

當時，，這時數(shù)列的前n項和

…………………………………………8分

（3）證明：因得，顯然存在k=1，使得對任意，

有成立；…………………………………………9分

①當n=1時，等號成立；

②當時，因

               

               

所以，存在k=1，使得成立……………12分

 

 

 


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