題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿(mǎn)分10分)
(1)如圖24—1,已知△ABC中,∠BAC=45°,AB="AC," AD⊥BC于D, 將△ABC沿AD剪開(kāi),并分別以AB、AC為軸翻轉(zhuǎn),點(diǎn)E、F分別是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn),得到△ABE和△ACF (與△ABC在同一平面內(nèi)).延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn),證明四邊形AEGF是正方形;
(2)如果⑴中AB≠AC,其他不變,如圖24—2.那么四邊形AEGF是否是正方形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在⑵中,若BD=2,DC=3,求AD的長(zhǎng).
小明和同桌小聰在課后做作業(yè)時(shí),對(duì)課本中的一道作業(yè)題,進(jìn)行了認(rèn)真探索。
【作業(yè)題】如圖1,一個(gè)半徑為100m的圓形人工湖如圖所示,弦AB是湖上的一座橋,測(cè)得圓周角∠C=45°,求橋AB的長(zhǎng)。
小明和小聰經(jīng)過(guò)交流,得到了如下的兩種解決方法:
方法一:延長(zhǎng)BO交⊙O與點(diǎn)E,連接AE,得 Rt△ABE,∠E=∠C,∴AB=100;
方法二:作AB的弦心距OH,連接OB, ∴∠BOH=∠C,解Rt△OHB, ∴HB=50,
∴AB=100。
感悟:圓內(nèi)接三角形的一邊和這邊的對(duì)銳角、圓的半徑(或直徑)這三者關(guān)系,
可構(gòu)成直角三角形,從而把一邊和這邊的對(duì)銳角﹑半徑建立一個(gè)關(guān)系式。
(1)問(wèn)題解決:受到(1)的啟發(fā),請(qǐng)你解下面命題:如圖2,點(diǎn)A(3,0)、B(0,),C為直線(xiàn)AB上一點(diǎn),過(guò)A、O、C的⊙E的半徑為2. 求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)。
(2)問(wèn)題拓展:如圖3,△ABC中,∠ ACB=75°,∠ABC=45°,AB=2,D是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB,AC于E,F(xiàn),連結(jié)EF, 設(shè)⊙O半徑為x, EF為y.
① y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;②求線(xiàn)段EF長(zhǎng)度的最小值。
如果三角形有一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“好玩三角形”
(1)請(qǐng)用直尺與圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”;
(2)如圖1,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,,求證:⊿ABC是“好玩三角形”;
(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a, ∠ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同的速度分別沿折線(xiàn)AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為S
①當(dāng)β=45°時(shí),若⊿APQ是“好玩三角形”,試求的值
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有且只有一個(gè)⊿APQ能成為“好玩三角形”請(qǐng)直接寫(xiě)出tanβ的取值范圍。
(4)本小題為選做題
依據(jù)(3)中的條件,提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,tanβ的取值范圍與⊿APQ是“好玩三角形”的個(gè)數(shù)關(guān)系的真命題(“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1)。
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