0  434352  434360  434366  434370  434376  434378  434382  434388  434390  434396  434402  434406  434408  434412  434418  434420  434426  434430  434432  434436  434438  434442  434444  434446  434447  434448  434450  434451  434452  434454  434456  434460  434462  434466  434468  434472  434478  434480  434486  434490  434492  434496  434502  434508  434510  434516  434520  434522  434528  434532  434538  434546  447090 

3.要正確理解和靈活運(yùn)用參數(shù)a,b,c,,e的幾何意義與相互關(guān)系;

試題詳情

2.求橢圓方程,常用待定系數(shù)法,定義法,首先確定曲線類型和方程的形式,再由題設(shè)條件確定參數(shù)值,應(yīng)“特別”掌握;

(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),方程可能有兩種形式,應(yīng)防止遺漏;

(2)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,總有ab>0,c2=a2-b2并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上;

試題詳情

1.橢圓定義是解決問題的出發(fā)點(diǎn),一般地,涉及ab、c的問題先考慮第一定義,涉及e、d及焦半徑的問題行急需處理 慮第二定義;

試題詳情

[例1]若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn),MAB的中點(diǎn),直線OM(O為原點(diǎn))的斜率為,且OAOB,求橢圓的方程.

分析:欲求橢圓方程,需求a、b,為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,由OM的斜率為OAOB,易得a、b的兩個(gè)方程.

解法1:設(shè)A(x1y1),B(x2y2),M(x0,y0).

∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.
 

 
   x+y=1,

ax2+by2=1,

x0==,y0==1-=

M(,).

kOM=,∴b=a.                  ①

OAOB,∴·=-1.

x1x2+y1y2=0.

x1x2=y1y2=(1-x1)(1-x2),

y1y2=1-(x1+x2)+x1x2

=1-+=

+=0.

a+b=2.                                 ②

由①②得a=2(-1),b=2(-1).

∴所求方程為2(-1)x2+2(-1)y2=1.

法2:(點(diǎn)差法)由ax1+by1=1,  ax2+by2=1相減得

,即…下同法1.

提煉方法:1.設(shè)而不求,即設(shè)出A(x1y1),B(x2y2),借助韋達(dá)定理推出b=a..再由OAOBx1x2+y1y2=0,轉(zhuǎn)換出a,b的又一關(guān)系式,

2.點(diǎn)差法得b=a.…

[例2](2005湖南) 已知橢圓C+=1(ab>0)的左.右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為e. 直線,lyex+ax軸.y軸分別交于點(diǎn)A、B,M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn),P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),設(shè)=λ

(Ⅰ)證明:λ=1-e2;

(Ⅱ)若,△MF1F2的周長(zhǎng)為6;寫出橢圓C的方程;(理科無此問)

(Ⅲ)確定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.

(Ⅰ)證法一:因?yàn)?i>A、B分別是直線lx軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標(biāo)分別是

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是().   由

證法二:因?yàn)?i>A、B分別是直線lx軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是

所以    因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,所以 

  解得

  (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,所以  由△MF1F­2­­的周長(zhǎng)為6,得

   所以  橢圓方程為

(Ⅲ)解法一:因?yàn)?i>PF1l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即

   設(shè)點(diǎn)F1l的距離為d,由

   得  所以

   即當(dāng)PF1F­2­­為等腰三角形.

解法二:因?yàn)?i>PF1l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,

由|PF1|=|F1F2|得

兩邊同時(shí)除以4a2,化簡(jiǎn)得  從而

于是.   即當(dāng)時(shí),△PF1F2為等腰三角形.

[例3](2005春上海)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是,且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知橢圓的方程是. 設(shè)斜率為的直線,交橢圓兩點(diǎn),的中點(diǎn)為. 證明:當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上;

(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡(jiǎn)要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

 

解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,

   ∴ ,即橢圓的方程為,

   ∵ 點(diǎn)()在橢圓上,∴ ,

   解得 (舍),

   由此得,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

  (2)設(shè)直線的方程為

   與橢圓的交點(diǎn)()、(),

則有,

   解得 ,

   ∵ ,∴ ,即

,

   ∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為

   ∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上.

(3)如圖,作兩條平行直線分別交橢圓于、,并分別取的中點(diǎn),連接直線;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于、,并分別取、的中點(diǎn),連接直線,那么直線的交點(diǎn)即為橢圓中心.

[例4] (2006江西)如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于、兩點(diǎn), 為線段的中點(diǎn).

(1)      求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)    若在的方程中,令確定的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn).此時(shí)設(shè)軸交點(diǎn)為,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形的面積最大?

解:如圖

 

(1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)、,又設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則

………………②
 
 
         ………………①

 當(dāng)不垂直軸時(shí),

 由①-②得

  

 當(dāng) 垂直于軸時(shí),點(diǎn)即為點(diǎn),滿足方程(*).

 故所求點(diǎn)的軌跡的方程為:

(2)因?yàn)?橢圓右準(zhǔn)線方程是,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線的距離為,

 

 時(shí),上式達(dá)到最大值,所以當(dāng)時(shí),原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn).

  此時(shí)

  設(shè)橢圓 上的點(diǎn)、,

  △的面積

  設(shè)直線的方程為,代入中,得

由韋達(dá)定理得

,得,當(dāng)取等號(hào).

因此,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直軸位置時(shí), 三角形的面積最大.

特別提醒:注意這種直線方程的設(shè)法,適用于 “含斜率不存在,而無斜率為零的情況”.

[研討.欣賞](1)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,-3),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng),當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo),并求出其最小值。

(2)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為,已知點(diǎn)P到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是,求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離是的點(diǎn)的坐標(biāo)。  

解(1)由橢圓方程可知a=4,b=,則c=2,,

橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=8  過點(diǎn)QQQ于點(diǎn)Q,

過點(diǎn)PPP于點(diǎn)P,則據(jù)橢圓的第二定義知,

,

易知當(dāng)P、Q、Q在同一條線上時(shí),即當(dāng)QP點(diǎn)重合時(shí),才能取得最小值,最小值為8-(-1)=9,此時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-3,代入橢圓方程得。

 因此,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(2,-3)處時(shí), 取最小值9.

(2)設(shè)所求的橢圓的直角坐標(biāo)方程是

,解得,設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d

其中,如果,  則當(dāng)y=-b時(shí),d2取得最大值

解得b=矛盾,    故必有   當(dāng)時(shí)d2取得最大值,     解得b=1,a=2  所求橢圓方程為

可得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)為,

試題詳情

6.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,,同理其余兩對(duì)的和也是,

,∴ =35

試題詳情

5. +=1或+=1;

試題詳情

4.易知圓F2的半徑為c,(2ac)2+c2=4c2,()2+2()-2=0,=-1.

試題詳情

6.(2006四川15)如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于,,……七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則____________.

簡(jiǎn)答提示:1-4.CBBA;

試題詳情

5.橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是,則這個(gè)橢圓方程為__________________.

試題詳情

4.設(shè)F1F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),以F2為圓心作圓F2,已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心,且與橢圓相交于M點(diǎn),若直線MF1恰與圓F2相切,則該橢圓的離心率e為  (  )

A-1     B.2-      C        D

試題詳情


同步練習(xí)冊(cè)答案