7. 已知數(shù)列滿足，則=　　

6. 在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于　　

5. 已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若，且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，則S₂₀₀＝　　

4. 若互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則　

3. 已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為　

2. 在等差數(shù)列{a}中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于　　　

1. 如果-1，a, b,c,-9成等比數(shù)列，那么b=　　　

2. 解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用.

話題3：函數(shù)與數(shù)列的綜合題

數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎�整�?shù)集，且是自變量從小到大變化時(shí)函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對(duì)數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).

例6. (2006湖北卷)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)(n，)(n)均在函數(shù)的圖像上。(Ⅰ)、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)設(shè)二次函數(shù)為f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n²－2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m必須且僅需滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

例7. 設(shè)，定義，其中n∈N*.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若求前2n項(xiàng)的和。

解：(1)＝2，，，

∴

∴，∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

(2)

兩式相減得：

例8. (湖北卷)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上。

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m。

本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力。

解：(I)依題意得，即。

當(dāng)n≥2時(shí)，a;

當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1-1-6×1-5

所以()。

(II)由(I)得，

故。

因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。

話題4：數(shù)列與解析幾何

數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解.

例9. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，­為公差的等差數(shù)列.

⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.

解：(1)

(2)的對(duì)稱(chēng)軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

點(diǎn)評(píng)：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大。(1)、(2)兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出.

例10. 已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過(guò)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn).

令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列. 并求數(shù)列的前項(xiàng)和

解：因?yàn)?sub>、在拋物線上，故①②，又因?yàn)橹本�的斜率為，即，①②代入可得，　 故是以

為公比的等比數(shù)列；，

話題5：數(shù)列創(chuàng)新題

例11.(安徽卷)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

，，，2，…

(Ⅰ)寫(xiě)出與的遞推關(guān)系式()，并求關(guān)于的表達(dá)式；

(Ⅱ)設(shè)，()，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：由()得：，即，所以，對(duì)成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)也成立。

(Ⅱ)由，得。

而，

，

例12. (福建卷)已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列：

(Ⅰ)求當(dāng)a為何值時(shí)a₄=0；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b_n­}滿足b₁=－1, b_n+1=，求證：a取數(shù)列{b_n}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}；

　 　(I)解法一：

故a取數(shù)列{b_n}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}

例13. (全國(guó)卷III) 在等差數(shù)列中，公差的等比中項(xiàng).

已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)

解：由題意得：　　　　　　 即

又

又成等比數(shù)列,

∴該數(shù)列的公比為，

所以

又所以數(shù)列的通項(xiàng)為

話題6：永遠(yuǎn)的遞推

例14. 在數(shù)列中，

(1)，，則通項(xiàng)公式= ＿＿＿＿＿

(2)，，則通項(xiàng)公式= ＿＿＿＿＿

(3)，，則通項(xiàng)公式= ＿＿＿＿＿

(4)，當(dāng)時(shí)，，則通項(xiàng)公式= ＿＿＿＿＿

(5)已知，，則通項(xiàng)公式　　　　　　

(6)設(shè)，且. 則通項(xiàng)公式　　　　　　

(7)設(shè)，且. 則通項(xiàng)公式　　　　　　

解：(1)迭加得：

(2)迭乘得：

(3)迭代得：

(4)取倒數(shù)得等差數(shù)列：

(5)配方得等比數(shù)列：

(6)配方得等比數(shù)列：

(7)同除以2ⁿ得等差數(shù)列：

[模擬試題]

4. 解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.

[典型例題]

話題1：等差、等比數(shù)列的項(xiàng)與和的特征問(wèn)題

例1. (四川卷)數(shù)列的前項(xiàng)和記為(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求

解：(Ⅰ)由可得，兩式相減得

又 ∴　 故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列　 ∴

(Ⅱ)設(shè)的公比為，由得，可得，可得

故可設(shè)　　 又

由題意可得　　　　 解得

∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴　 ∴　 ∴

例2. (上海卷)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式？(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起？

解：(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

當(dāng)n≥2時(shí), a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

∴=，a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n≥46.　　 ∴從第46項(xiàng)起T_n<－509.

例3. (全國(guó)卷Ⅰ) 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求的前n項(xiàng)和。

解：(Ⅰ)由 　得

即

可得

因?yàn)?sub>，所以 　解得，因而

(Ⅱ)因?yàn)?sub>是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，故

則數(shù)列的前n項(xiàng)和

前兩式相減，得　

　 即　

話題2：等差、等比數(shù)列的判定問(wèn)題.

例4. (上海卷)已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)(整數(shù)≥2)，首項(xiàng)＝2. 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且＝+2(＝1，2，…，2－1)，其中常數(shù)＞1.

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若＝2，數(shù)列滿足＝(＝1，2，…，2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|－|+|－|+…+|－|+|－|≤4，求的值.

(1) 證明：當(dāng)n=1時(shí),a₂=2a,則=a；

2≤n≤2k－1時(shí), a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

a_n+1－a_n=(a－1) a_n,　 ∴=a, ∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列.

(2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

b_n=(n=1,2,…,2k).

(3)設(shè)b_n≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時(shí), b_n<；

當(dāng)n≥k+1時(shí), b_n>.

原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

=(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

==.

當(dāng)≤4,得k²－8k+4≤0,　　 4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.

例5. 已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。

分析：由于{b}和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑.

[注2]本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似.

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a. (根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ②

由①和②得，數(shù)列{b}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2.

當(dāng)n≥2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式.

綜上可知，所求的前n項(xiàng)和為S=2(3n-4)+2.

說(shuō)明：1. 本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。

3. 注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=　 ，

=.