Question

求滿足下列條件的所有自然數(shù)：
（1）它是四位數(shù)．
（2）被22除余數(shù)為5．
（3）它是完全平方數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)性質(zhì)

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：設(shè)22n+5=N²，其中n，N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)．則有N²-16=11（2n-1），（N+4）（N-4）=11（2n-1），11|N-4或11|N+4，N=（2k-1）×11+4，N=22k-5 或 N=22k-15 （k=1，2，…），然后通過試數(shù)，即可找到滿足上述條件的所有自然數(shù)．

解答： 解：設(shè)22n+5=N²，其中n，N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)．
N²-16=11（2n-1），（N+4）（N-4）=11（2n-1）
11|N-4或11|N+4
N=（2k-1）×11+4，N=22k-5或N=22k-15 （k=1，2，…）
經(jīng)試數(shù)可知，只有37×37，51×51，59×59，73×73，81×81，95×95符合題意，
此自然數(shù)為1369，2601，3481，5329，6561，9025．

點(diǎn)評(píng)：解答此類問題，一般采取用字母代替數(shù)字的方法，列出關(guān)系式，通過討論，解決問題．