Question

如圖，在五角星圖案中共有10個節(jié)點（用黑色實心圓點表示），以這些節(jié)點為頂點的三角形共有10個．現(xiàn)在將自然數(shù)1至10分別填在10個節(jié)點上，將每個三角形中三個頂點處所標(biāo)數(shù)的和稱為此三角形的“特征值”．請問：
（1）是否存在一種填數(shù)方法，使得每個三角形的特征值均為偶數(shù)；
（2）是否存在一種填數(shù)方法，使得每個三角形的特征值都能被3整除．能則舉出例子，不能請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：奇偶性的構(gòu)造論證．
（1）10個三角形共有30個頂點，觀察后發(fā)現(xiàn)10個節(jié)點分別都用了3次．
和為（1+2+．．+10）*3=55*3=奇數(shù)．
所以不可能存在每個三角形特征值均為偶數(shù)．
（2）按對3的余數(shù)分類：余1的有4個，余0的有3個，余2的有3個．
之后可以分類討論，設(shè)外邊尖上一個點為余0或1，之后需要利用字母帶做．最后是不可能存在．

解答： 解：（1）不存在，1+2+…+10=55，而10個三角形的頂點中，每個點被算了3次，所以55×3=165=10個特征值的和，若均為偶數(shù)，則矛盾；
（2）

不存在，10個數(shù)中，4個除以3余1，3個模3余2，3個余0，現(xiàn)考慮下面的圖形，因為a+b+e≡a+d+c≡0（mod3），
所以b+e≡d+c（mod3），因為b+c+f≡d+e+f≡0（mod3），
所以b+c≡d+e（mod3），
相減得：2（c-e）≡0（mod3），所以c≡e（mod3），
同理，外圈5個數(shù)模3同余，內(nèi)圈5個數(shù)模3同余，
但同余的最多4個，矛盾．

點評：對于復(fù)雜題型，細(xì)致的去分析，仔細(xì)的細(xì)分，利用各種已學(xué)的可借用的方法去分析．會很快找到規(guī)律，一些穩(wěn)定不變的聯(lián)系，這樣題目就解決了．